Основы линейной алгебры на примере балансовой модели - (курсовая)
Основы линейной алгебры на примере балансовой модели - (курсовая)
Дата добавления: март 2006г.
БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель–проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.
ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называютпроизводственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).
Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi –конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т. д. ).
Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-йотрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.
Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk.
Таблица 1
№ потребление итого на конечный валовый
отрас. внутре продукт выпуск
производ. ( уi ) ( хi )
№ 1 2 … k … n потребление
отрас. (е хik )
1 х11 х12 … х1k … х1n е х1k у1 х1
2 х21 х22 … х2k … х2n е х2k у2 х2
… … … … … … … … … …
i хi1 xi2 … xik … xin е xik yi xi
… … … … … … … … … …
n xn1 xn2 … xnk … xnn е xnk yn xn
итого
произв.
затраты е хi1 е xi2 … е xik … е xin в k-ю
отрасль
Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами :
х1 - ( х11 + х12 + … + х1n ) = у1
х2 - ( х21 + х22 + … + х2n ) = у2 ( 1 )
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
xn - ( xn1 + xn2 + … + xnn ) = yn
Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.
Будем снабжать штрихом ( х'ik , y'iи т. д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха–аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде. Будем называть совокупность значений y1 , y2 , … , yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором : _
у = ( у1 , у2 , … , yn ) , ( 2 )
а совокупность значений x1 , x2 , … , xn , определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом : _
x = ( x1 , x2 , … , xn ). ( 3 )
Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектору необходимый для его обеспечения вектор-план х, т. к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk. Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений :
xik
aik = ––– ( i , k = 1 , 2 , … , n ).
xk
Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-йотраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этойk-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aikпостоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т. е. , что
x'ik xik
––– = ––– = aik = const ( 4 )
x'k xk
Исходя из этого предложения имеем
xik = aikxk , ( 5 )
т. е. затраты i-й отрасли в k-юотрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпускаxk. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат. Рассчитав коэффициенты прямых затрат aikпо формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу
a11 a12 … a1k … a1n
a21 a22 … a2k … a2n
A= ………………….
ai1 ai2 … aik … ain
an1 an2 … ank … ann
которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aikэтой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенстваА>0 и называют такую матрицу неотрицательной.
Заданием матрицы Аопределяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл. 1
Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель :
x1 - ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1
x2 - ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2 ( 6 ) ……………………………………
xn - ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn ,
характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл. 1 Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:
_ _ _
Е·х - А·х = У , или окончательно
_ _
( Е - А )·х = У , ( 6' )
где Е – единичная матрица n-го порядка и
1-a11 -a12 … -a1n
E - A= -a21 1-a22 … -a2n
…………………
-an1 -an2 … 1-ann
Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi и yi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных. Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y2 , … , yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 , х2 , … хn ). Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:
табл. 2
№ отрас Потребление Итого Конечный Валовый № затрат продукт выпуск
отрас 1 2
0. 2 0. 4
1 100 160 260 240 500
0. 55 0. 1
2 275 40 315 85 400
Итого затрат 575
в k-ю 375 200
отрасль … 575
Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл. 2
Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:
100 160 275 40
а11 = –––– = 0. 2 ; а12 = –––– = 0. 4 ; а21 = –––– = 0. 55 ; а22 = –––– = 0. 1 500 400 500 400
Эти коэффициенты записаны в табл. 2 в углах соответствующих клеток. Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл. 2
х1 - 0. 2х1 - 0. 4х2 = у1
х2 - 0. 55х1 - 0. 1х2 = у2
Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т. д.
Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т. д.
РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.
Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).
Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т. е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением. Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя. Так, например, если
0. 9 0. 8 0. 1 -0. 8 и уравнение ( 6' ) А= , то Е - А =
0. 6 0. 9 -0. 6 0. 1
запишется в виде 0. 1 -0. 8 х1 у1 или в развернутой форме -0. 6 0. 1 х2 у2
0. 1х1 - 0. 8х2 = у1 ( a )
-0. 6х1 + 0. 1х2 = у2
Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение
-0. 5х1 - 0. 7х2 = у1 + у2,
которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ). Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ). Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.
