Комплексные числа в планиметрии - (курсовая)
p>Подведем итоги. Уравнением , в котором хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля, задается: 1) прямая при |а|=|b|, с=0, а также при ;2) единственная точка при ;
3) пустое множество в иных случаях, т. е. при |a| = |b|, , а также при , . Достигнув поставленной цели, возвратимся снова к системе:
не налагая ограничений на коэффициенты а, b, с, кроме того, что a и b не равны нулю одновременно. Уравнивая коэффициенты при , приходим к уравнению , которое: а) имеет единственное решение при ;
б) имеет бесконечное множество решений при и ;
в) не имеет решений при и .
Отсюда и на основании результата предыдущих исследований получаем, что уравнение определяет:
а) единственную точку при
б) прямую при и ;
в) пустое множество при и .
Уравнение
(5)
прямой в сопряженных комплексных координатах будем называть приведенным уравнением прямой.
Две прямые. Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая т задана приведенным уравнением . Так как она перпендикулярна вектору , то вектор будет ей параллелен (рис. 2). Следовательно, ориентированный угол от оси х до прямой т равен аргументу числа ai:
. (6)
Положительно ориентированный угол от прямой до прямой равен углу между их направляющими векторами и : . (7)
Формулы (6) и (7) позволяют находить соответствующие углы с точностью до слагаемого . Из формулы (7) вытекает критерий перпендикулярности и критерий параллельности прямых и . В самом деле, чисто мнимое число. Это значит, что , или . (8)
При или получаем:
. (9)
Если прямая проходит через точку , то и ее уравнение можно написать в виде: (10)
В силу условия (8) перпендикулярности для прямой, перпендикулярной данной, коэффициентами при, z и будут соответственно числа а и . Поэтому на основании уравнения (10) получаем уравнение (11)
прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой . Решение системы
дает координату
(12)
основания M1 перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Так как расстояние d от точки M0 этой прямой равно, то
. (13)
Геометрический смысл, уравнения
Из формулы расстояния между двумя точками получается уравнение окружности по ее центруS (s) и радиусу R :
(14)
Пусть дано уравнение
, (15)
в котором на комплексные коэффициенты а, b, сне накладывается заранее никаких условий. Требуется найти множество точек, координаты которых ему удовлетворяют. С этой целью удобно представить его в эквивалентном виде:
. (16)
Рассмотрим все возможные случаи для коэффициентов а, b, с.
1. Сравнивая уравнение (16) с уравнением (14) окружности, приходим к выводу, что уравнение (16), а значит, и уравнение (15) задают окружность тогда и только тогда, когда и ab—с - действительное число. Так как в этом случае , то с должно быть действительным числом. Итак, уравнение
(17)
есть уравнение окружности с центром s=-b и радиусом .
2. При и с=ab уравнению (16) удовлетворяет единственная точка s=-b. В частности, этот случай имеет место при а=b=с=0. Соблюдая аналогию, говорят, что уравнением задается окружность с центром s=-b нулевого радиуса. 3. Если , , но , то - чисто мнимое число. Полагаем , тогда (16) можно записать так: . (18)
Уравнению (18) не удовлетворяет ни одна точка плоскости, поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна при любом значенииz. Говорят, что это уравнение есть уравнение окружности мнимого радиуса iR с действительным центром S, имеющим комплексную координату s=-b. 4. Когда , но , уравнение (16) противоречиво: левая часть его действительна, а правая нет. В этом случае оно не задает никакого геометрического образа (даже мнимого! ). 5. Осталось рассмотреть случай, когда . Тогда из уравнения (15) вычтем уравнение , получающееся из (15) переходом к сопряженным комплексным числам. Получаем: ,
откуда
Выполняя эту подстановку в уравнение (15), приводим его к виду
. (19)
При уравнения (15) и (19) равносильны. В зависимости от того, отличен от нуля или равен нулю дискриминант
квадратного уравнения (19), оно будет определять две различные (действительные! ) или две совпавшие точки. При D=0 совпавшие точки имеют комплексную координату
В частности, при c=ab как уравнение (16), так и уравнение (19) дает пару точек z1=-b и . Итак, уравнением (15) задается либо окружность (действительная, мни мая, нулевого радиуса), либо две точки (различные или же совпавшие), либо пустое множество точек.
Рассмотрим одну замечательную пару окружностей.
Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Тогда, очевидно, касательная к одной из ортогональных окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.
Для того чтобы окружности (A, R) и (В, r) были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы |AB|2=R2+r2 , или . (20)
Если окружности заданы уравнениями
и
то , и поэтому критерий (20) их ортогональности трансформируется так: (21)
Решение задач
Задача 1. Хорды АВ и PQ окружности пересекаются в точке С. Найти множество точек М пересечения прямых АР и BQ, если точки А, В, С постоянны, а точки Р и Q пробегают данную окружность (рис. 3). Решение. Пусть z - комплексная координата произвольной точки М искомого множества и данная окружность принята за единичную . В силу зависимости координат точек, принадлежащих секущей к окружности (см. предыдущую статью), имеем:
откуда . Подставляя эти выражения во второе равенство, получаем: ,
или
Привлекая , полученному уравнению придадим вид
.
Теперь ясно, что искомое множество точек представляет собой пару прямых, одной из которых является прямая АВ, а другая имеет уравнение (22)
в приведенной форме. Как видим, эта прямая не зависит от хорды АВ, а определяется лишь окружностью и точкой С. Она называется полярой точки С относительно окружности .
Задача 2. Около окружности описан квадрат ABCD. Точки - ортогональные проекции его вершин A, В, С, D соответственно на произвольную касательную к окружности. Доказать, что .
Решение. Радиус окружности примем за единицу длины. Систему координат выберем так, чтобы точки касания сторон АВ, ВС, CD, DA с окружностью имели координаты . Тогда вершины А, В, С, D будут иметь координаты Касательная к окружности в ее произвольной точке Р (р) имеет уравнение в приведенной форме. Руководствуясь формулой (13), находим:
Аналогично получаем:
Равенство доказано.
Задача 3. Вершины A и В прямоугольного равнобедренного треугольника АВС спроектированы параллельно некоторой прямой l на прямую, проходящую через вершину С прямого угла, соответственно в точки и . Доказать, что сумма зависит только от угла между осью проекций и прямой l (при заданном треугольнике АВС). Решение. Примем ось проекций за действительную ось х и вершину С за начало О. Прямую l проведем через О и зададим принадлежащей ей точкой Р(р), |p|=1. Ее уравнение имеет вид. Если вершина A имеет координату а, |а|=1, то вершине В соответствует число ai (рис. 4).
Прямые АА1 и BB1 получают уравнения и . Для точек, лежащих на оси х проекций, . Подстановкой в предыдущие уравнения получаем координаты точек А1 и В1: .
Находим:
,
где - указанный в условии задачи угол.
Задача 4. На окружности взяты четыре произвольные точки А, В, С, D. Окружности соответственно с центрами A, В, С и проходящие через точку D пересекаются вторично попарно в точках (рис. 5). Доказать, что точки коллинеарны. Решение. Пусть окружность является единичной и точка D имеет координату d=l. Используя уравнение (14) и тот факт, что окружность имеет центр A(а) и содержит точку D(1), получаем ее уравнение , или . Аналогично окружности и будут иметь уравнения
и .
Решая систему уравнений окружностей и , находим координату второй общей точки М3 этих окружностей: m3=a+b-ab.
Аналогично m2=c+a-ca, m1=b+c-bc.
Отсюда находим:
.
Это число сопряжено самому себе, и потому точки коллинеарны.
Задача 5. Найти множество центров окружностей, проходящих через данную точку М (т) ортогонально данной окружности . Решение. Если окружность обладает заданным свойством, то
Исключая получаем уравнение относительно :
.
Им определяется прямая с нормальным вектором , который равен вектору , где - центр данной окружности. Следовательно, эта прямая перпендикулярна прямой AM (рис. 6).
Заключение
Многие задачи элементарной геометрии можно изящно и просто решать при помощи комплексных чисел. Однако, значение комплексных чисел заключается не только в изяществе и краткости решения задач посредством этих чисел, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения комплексных чисел при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.
Конечно, данная работа не может вместить в себя все теоремы и задачи, к тому же многие из них еще не сформулированы. Здесь рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых были представлены задачи и их решения.
Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней. Здесь мы остановились на вопросе применения комплексных чисел к решению планиметрических задач, а что, если комплексные числа применять к решению стереометрических задач? ! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.
Подводя итоги, можно сделать вывод: метод комплексных чисел в применении к решению задач по элементарной геометрии можно давать не только студентам высших учебных заведений, но и старшим школьникам на факультативных занятиях. Так как этот метод прост в применении, использует аппарат комплексных чисел, что, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Дает возможность посмотреть на задачи по геометрии с другой стороны, приучить к тому, что все наглядные задачи (правильность которых видна из чертежа) можно решать аналитическим способом, вообще не прибегая к чертежу.
Список использованной литературы
З. А. Скопец “Геометрические миниатюры”. - М. : Просвещение, 1990 Л. И. Волковский “Сборник задач по теории функций комплексных переменных”. - М. : Просвещение, 1985
И. И. Привалов “Введение в теорию функции комплексного переменного”. - М. : Просвещение, 1988
