Комплексные числа в планиметрии - (курсовая)
p>Обратно: если двойное отношение четырех точек действительно, то эти точки или коллинеарны, или принадлежат одной окружности. В самом деле, тогда если действительное число, то и действительное число. Поэтому точки А, В, С коллинеарны и точки А, В, D коллинеарны, и, значит, все четыре точки коллинеарны. Если же число комплексное, то и число также комплексное, отличное от действительного. Поэтому точки A, B, С неколлинеарны и точки А, В, D также неколлинеарны. Так как по условию двойное отношение вещественно, тоСледовательно, либо BCA=BDA, либо ВСА—ВDА=±, т. е. ВСА+ADB=±. В первом случае отрезок АВ из точек С и Dвиден под равными углами, и, стало быть, они принадлежат одной дуге окружности, стягиваемой хордойАВ. Во втором случае сумма противоположных углов четырехугольника ACBD равна ±, и поэтому он будет вписанным в окружность. Доказательство закончено.
Задача 1. В окружности проведены три параллельные хорды Доказать, что для произвольной точки М окружности прямые образуют равные углы соответственно с прямыми ВС, СА, АВ. Решение. Принимая окружность за единичную, отнесем точкам А, В, С, A1, B1, C1 комплексные числа Тогда по условию (9) параллельности хорд имеем Следует доказать, что (рис. 8). Первое равенство эквивалентно такому:
Или
т. е. эта дробь должна быть числом действительным. А это имеет место, поскольку сопряженное ей число
равно этой же дроби. Аналогично доказывается и второе равенство углов.
Задача 2. На плоскости даны четыре окружности так, что окружности и пересекаются в точках и ; окружности и пересекаются в точках и , окружности и — в точках и и окружности и — в точках и . Доказать, что если точки лежат на одной окружности или прямой, то и точки также лежат на одной
окружности или прямой (рис. 9).
Решение. Согласно теореме этого параграфа и условию задачи будут действительрыми двойные отношения:
Поэтому будет действительным и число
Следовательно, из вещественности двойного отношения вытекает вещественность и двойного отношения .
Подобные и равные треугольники. Правильный треугольник
ОПР: Треугольники АВС и подобны и одинаково ориентированы (подобие первого рода), если только и (углы ориентированные).
Эти равенства с помощью комплексных чисел можно записать так:
Два равенства и эквивалентны одному или
(35)
где комплексное число, коэффициент подобия.
Если, в частности, - число действительное, то и на основании признака (8) будет. По такой же причине и. Следовательно, треугольники и гомотетичны. Соотношение (35) — необходимый н достаточный признак того, что треугольники АВС и являются подобными и одинаково ориентированными. Ему можно придать симметричный вид: (36)
или
. (37) ОПР. Треугольники АВС и подобны и противоположно ориентированы (подобие второго рода), и . Последнее равенство дает:
Два равенства
и
эквивалентны одному
или
(38)
где - комплексное число, -коэффициент подобия.
Соотношение (38) есть необходимый и достаточный признак того, что треугольники АВС иподобны и ориентированы противоположно. Его можно записать в симметричной форме:
(39)
или же так:
(40)
Если, то треугольники АВС и будут равны (конгруэнтны).
Тогда соотношения (35) и (38) становятся признаками равенства треугольников соответственно одинаковой и противоположной ориентации.
Рассмотренные признаки подобия треугольников позволяют обосновать простой способ построение произведения и частного двух комплексных чисел. Пусть даны точки с комплексными координатами и требуется построить точку М с координатой z=ab. Тогда, очевидно, . Это равенство говорит о том, что треугольники ОЕА и ОВМ подобны и одинаково ориентированы. Отсюда и вытекает способ построения точки М, соответствующей произведению ab (рис. 10). Обратно: если даны точки М и А соответственно с координатами ab и a, то точка В, соответствующая частному этих чисел строится на основании тех, же подобных треугольников.
Следует обратить внимание на один важный частный случай. Если |а|=1, то точка М будет образом точки В при повороте около нулевой точки на угол. Если потребовать, чтобы ориентированный треугольник АВС был подобен ориентированному треугольнику BCA, то треугольник АВС необходимо будет правильным. Поэтому из условия (36) получаем необходимое и достаточное условие того, чтобы треугольник АВС был правильным
(41)
или
(42)
Введем в употребление комплексное число являющееся одним из корней уравнения (Формула для нахождения корней -) Другие два корня которого равны 1 и. По теореме Виета для кубического уравнения имеем Это легко проверить и непосредственно. Тогда равенство (41) будет эквивалентно такому:
или после умножения первого трехчлена на :
. (43)
Итак, для того чтобы треугольник АВС был правильным, необходимо и достаточно выполнения хотя бы одного из равенств:
(44)
или же
(45)
Оказывается, первое из этих равенств соответствует только тому случаю, когда треугольникАВСориентирован положительно, а второе выполняется лишь при отрицательной его ориентации. В самом деле, так как умножению на отвечает поворот на , то при положительной ориентации треугольника (рис. 11), откуда и поэтому Аналогично проверяется выполнение равенства (45) для отрицательно ориентированного правильного треугольникаАВС. Очевидно, одновременно равенства (44) и (45) выполняться не могут. Если правильный треугольник АВС вписан в окружность, то при его положительной ориентации и , а при отрицательной ориентации и Поэтому каждое из условий (44) и (45) принимает вид: (46)
Задача 1. Доказать, что треугольник, стороны которого принадлежат касательным в вершинах треугольника АВС к его описанной окружности, гомотетичен треугольнику с вершинами в основаниях высот треугольника АВС. Решение. Принимаем описанную окружность за единичную Руководствуясь формулами (20) и (19), получаем:
Проверяем выполнимость признака (35):
причем, т. е. -действительное число. Значит, треугольники и гомотетичны.
3адача 2. Два равных одинаково ориентированных треугольника АВС и вписаны в одну окружность. Доказать, что треугольник с вершинами в точках пересечения прямых ВС и, СА и, AB и подобен данным треугольникам. Решение. Придадим окружности уравнение . Вершины. треугольника служат образами вершин треугольника АВС при повороте на некоторый угол . Поэтому Если— точки пересечения прямых ВС и СА и АВ и соответственно, то на основании (17) откуда Аналогично Осталось проверить условие (17): что делается непосредственной подстановкой.
3адача 3. Доказать, что середины отрезков, соединяющих соответственные вершины двух равных и противоположно ориентированных треугольников, коллинеарны. Решение. Для доказательства данной задачи воспользуемся:
1) Формулой (38), - необходимое и достаточное условие равенства двух противоположно ориентированных треугольниковABC и ;
2) Формулой (4а) для точек M, N, P: (из условия задачи);
3) Формулой (11), - коллинеарности точек M, N, P:
Теперь простой проверкой убеждаемся в том, что из 1)2) 3).
ПРЯМАЯ И ОКРУЖНОСТЬ НА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Пусть произвольной точке М плоскости комплексных чисел соответствует комплексное число. Из равенств и однозначно выражаются декартовы координаты х и у точки М через комплексные числа и : (1)
Поэтому комплексные числа z и называются сопряженными комплексными координатами этой точки. Формулы (1) позволяют осуществить переход от уравнения геометрической фигуры в декартовых координатах к ее уравнению в сопряженных комплексных координатах. Однако сейчас мы предпочли непосредственное рассмотрение уравнений в сопряженных комплексных координатах.
Геометрический смысл уравнения
Найдем множество точек плоскости, сопряженные комплексные координаты которых удовлетворяют уравнению (2)
Сначала выделим особый случай, когда с=0. Тогда имеем систему относительно и
второе уравнение которой получается из первого переходом к сопряженным числам. Уравнивая коэффициенты при , путем вычитания второго уравнения из первого получаем:
Если , т. е. , то решением полученного уравнения, а значит, и решением исходного уравнения будет единственное число z=0. При уравнение напишем в виде . Модули левой и правой частей равны. Необходимо, чтобы , откуда . Этому условию удовлетворяет каждая точка прямей m, проходящей через начало под углом к действительной оси (рис. 1). Так, уравнением (3)
задается прямая при и точка при .
Пусть теперь . Свободный член уравнения (2) можно всегда сделать действительным числом путем умножения обеих частей уравнения на с. Поэтому сразу будем полагать Тогда имеем систему:
из которой получаем: . Рассмотрим возможные случаи.
Если , то и подстановкой в исходное уравнение получаем: или . При его решение единственно:
При решений нет.
Если , то и , т. е... В этом случае уравнением (2) при прямая. В самом деле, возьмем точку и вектор точки В(b) и рассмотрим множество точек М(z), для каждой из которых (MQ)(OB): (4)
Очевидно, это множество есть прямая. При и уравнение (4) эквивалентно уравнению (2). Таким образом, при и уравнение (2) есть уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно вектору . Наконец, отметим случай, когда , но . Тогда система
приводит к противоречию: , т. е...
