Комплексные числа в планиметрии - (курсовая)
p>Комплексные числа с аргументами 0, , являются действительными. ТЕОРЕМА (Критерий коллинеарности точек О, А, В): Для того чтобы точки А(а) и В(b) были коллинеарны с начальной точкой О, необходимо и достаточно, чтобы частное было действительным числом, т. е.или (6)
Действительно, так как в этом случае число действительное (k=), то критерий (6) эквивалентен такому: . (7)
Возьмем теперь точки A(а), B(b), C(c), D(d).
ОПР: Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда точки, определяемые комплексными числами а—b и с—d, коллинеарны с началом О. Замечание:
1. На основании (6) имеем:
; (8)
2. Если точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности =l, то , и поэтому условие (8) принимает вид:
; (9)
3. Коллинеарность точек A, В, С характеризуется коллинеарностью векторов и . Используя (8), получаем: . (10)
Это критерий принадлежности точек A, B, С одной прямой. Его можно представить в симметричном виде (11)
Если точки A и B принадлежат единичной окружности =l, то , и поэтому каждое из соотношений (10) и (11) преобразуется (после сокращения на(а-b) в такое:
(12)
Точки А и В фиксируем, а точку С будем считать переменной, переобозначив ее координату через z. Тогда каждое из полученных соотношений (10), (11), (12) будет уравнением прямойАВ:
, (10а)
. (12a)
В частности, прямая ОА имеет уравнение
Переходим к выводу критериев перпендикулярности отрезков. Ясно, что
Комплексные числа с аргументами и - являются чисто мнимыми.
Поэтому,
или
(13)
Отрезки АВ и CDперпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы точек с комплексными координатамиа—b и с—d перпендикулярны. В силу (13) имеем:
(14)
В частности, когда точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности =l, то зависимость (14) упрощается: (15)
Выведем уравнение касательной к единичной окружности =l в ее точке P(р). Если М (z) — произвольная точка этой касательной, то и обратно. На основании (14) имеем:
или
.
Поскольку , то уравнение касательной становится таким:
. (16)
Это частный случай уравнения (12a) при а=b=р. Решим еще две вспомогательные задачи, необходимые для решения содержательных геометрических задач.
Задача 1. Найти координату точки пересечения секущих АВ и CD единичной окружности =l, если точки А, В, С, D лежат на этой окружности и имеют соответственно комплексные координаты а, b, с, d. Пользуясь уравнением (12а), получаем систему
из которой почленным вычитанием находим:
(17)
В том частном случае, когда хорды АВ и CD перпендикулярны, в силу (15) ab=-cd, и поэтому результат (17) приводится к виду
откуда
(18)
В этом случае точка пересечения определяется только тремя точками A, В, С, так как , и, значит, (19)
3адача 2. Найти комплексную координату точки пересечения касательных в точках A(а) и B(b) единичной окружности =l. Для искомой координаты z имеем систему
из которой находим:
Поскольку то получаем окончательно:
или (20)
Покажем теперь метод комплексных чисел в действии, применяя его к доказательству классических теорем элементарной геометрии.
Теорема Ньютона. В описанном около окружности четырехугольнике середины диагоналей коллинеарны, с центром окружности.
Доказательство. Примем центр окружности за начало, полагая ее радиус равным единице. Обозначим точки касания сторон данного четырехугольника AoBoCoDo через А, В, С, D (в круговом порядке) (рис. 4). Пусть М и N — середины диагоналей АoСo и BoDo соответственно. Тогда согласно (20) точки Аo, Вo, Сo, Do будут иметь соответственно комплексные координаты:
где a, b, c, d – комплексные координаты точек A, B, C, D.
Поэтому
Вычисляем Поскольку то непосредственно видно, что На основании (6) точки О, М, N коллинеарны.
Теорема Гаусса. Если прямая пересекает прямые, содержащие стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС соответственно в точках А1, B1, C1, то середины отрезков АА1, ВВ1, СС1 коллинеарны (рис. 5).
Доказательство. Используя (11), запишем условия коллинеарности троек точек АВ1С, СА1В, ВС1А, A1B1C1:
(21)
Если М, N, P — середины отрезков AA1, BB1, CC1, то предстоит показать, что
(22)
Так как то доказываемое равенство (22) эквивалентно такому:
или после перемножения:
(23)
Теперь легко видеть то, что (23) получается почленным сложением равенств (21). Доказательство закончено.
Теорема Паскаля. Точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны вписанного шестиугольника, лежат на одной прямой.
Доказательство. Пусть в окружность вписан шестиугольник ABCDEF и (рис. 6). Примем центр окружности за нулевую точку плоскости, а ее радиус - за единицу длины. Тогда согласно (17) имеем:
Вычисляем
и аналогично
Далее находим:
Поскольку числа равны соответственно , то устная проверка обнаруживает, что найденное выражение совпадает со своим сопряженным, т. е. является действительным числом. Это означает коллинеарность точекМ, N, Р.
Teopeмa Mонжа. Во вписанном в окружность четырехугольнике прямые, проходящие через середины сторон и. каждой диагонали перпендикулярно противоположным сторонам и соответственно другой диагонали, пересекаются в одной точке. Она называется точкой Монжа вписанного четырехугольника.
Доказательство. Серединные перпендикуляры к сторонам четырёхугольника ABCDпересекаются в центре описанной окружности, который примем за начальную точку. Для каждой точкиМ(z) серединного перпендикуляра к [AB] число чисто мнимое. В частности, при z=0 оно равно . Для каждой точки N(z) прямой, проходящей через середину стороны CD перпендикулярно (AB), число необходимо будет чисто мнимым и обратно. Но для z= оно равно т. е. чисто мнимое. Следовательно, точка Е с комплексной координатой лежит на указанной прямой. А это выражение симметрично относительно букв а, b, с, d. Поэтому и остальные пять аналогично построенных прямых содержат точку Е. Решим ещё несколько основных планиметрических задач.
3адача 3. Доказать, что диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух его противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон.
Решение. Требуется доказать:
Запишем используя (15): . Тогда, воспользовавшись формулами (15), (2) и тем, что точки A, B, C, D принадлежат окружности , приходим к выводу, что
3адача 4. Доказать, что если средние линии MP, NQ четырехугольника ABCD равны, то его диагонали AC и BD перпендикулярны и обратно. Решение. Требуется доказать: .
(a) так как
, cогласно (4a). Подставим эти выражения в равенства (a) и получим: но это и есть условие того, что (см. 14).
Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности
Условимся обозначать символом положительно ориентированный угол, на который надо повернуть вектор , чтобы он стал сонаправлен
с вектором. Если и, то точкам Р и Q соответствуют комплексные числа b—а и d—c (рис. 7) и (24)
Эта формула в применении к положительно ориентированному треугольнику АВС дает: (25)
Если z=r( , то Отсюда
(26)
Тогда так как
Итак,
(27)
Аналогично находим:
. (28)
Выведем формулу для площади S положительно ориентированного треугольника АВС:
или
(29)
что можно записать в виде определителя третьего порядка:
(30)
Если треугольник АВС вписан в окружность , то формула (29) преобразуется к виду . (31)
Для площади S положительно ориентированного четырехугольника ABCD имеем: (32)
Если четырехугольник ABCD вписан в окружность zz==l, то (32) принимает вид: (33)
Три произвольно взятые точки всегда принадлежат либо одной окружности, либо одной прямой. Критерии принадлежности трех точек одной прямой рассмотрены выше.
Докажем КРИТЕРИЙ принадлежности четырех точек одной окружности или прямой. Возьмем четыре произвольные точки A, В, С, D соответственно с комплексными координатами а, b, c, d. Комплексное число (34)
называется двойным отношением точек A, В, С, D и обозначается (AB, CD). Порядок точек существен.
Теорема. Для того чтобы, четыре точки лежали на одной прямой или на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы их двойное отношение было действительным числом.
Доказательство. Если точки А, В, С, D коллинеарны, то отношения и действительные числа (см. условие (10)). Следовательно, в этом случае будет действительным и двойное отношение (34). Если точкиА, В, С, D лежат на окружности, то рассмотрим два возможных случая:
точки С и D находятся в одной полуплоскости от прямой АВ;
точки С и D находятся в различных полуплоскостях от прямой АВ.
В первом случае ориентированные углы ВСА и BDA равны, во втором случае ВСА+АDВ= ±, т. е. ВСА-ВСА= ±. В обоих случаях разность равна нулю или ±. Но поскольку согласно (24) эта разность равна
то — действительное число.
