Число как основное понятие математики - (курсовая)
p>Мнимым числам не было места на координатной оси. Однако ученые заметили, что если взять действительное числоb на положительной части координатной оси и умножить его на , то получим мнимое число b, неизвестно где расположенное. Но если это число еще раз умножить на , то получим -b, то есть первоначальное число, но уже на отрицательной части координатной оси. Итак, двумя умножениями на мы перебросили число bс положительного в отрицательные, и ровно на середине этого броска число было мнимым. Так нашли место мнимым числам в точках на мнимой координатной оси, перпендикулярной к середине действительной координатной оси. Точки плоскости между мнимой и действительной осями изображают числа, найденные Кардано, которые в общем видеa + b·i содержат действительные числа а и мнимые b·i в одном комплексе (составе), поэтому называются комплексными числами. Это был 4-ый уровень обобщения чисел.Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVII веков была построена общая теория корнейn-ных степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра:
С помощью этой формулы можно было также вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг.
Леонард Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу:
,
которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Эйлера можно было возводить числое в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел и т. д. Долгое время даже математики считали комплексные числа загадочными и пользовались ими только для математических манипуляций. Так, швейцарский математик Бернулли применялкомплексные числа для решения интегралов. Чуть позже с помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, к примеру, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.
4. 2. Геометрическое истолкование комплексных чисел
Около 1800-го года сразу несколько математиков (Вессель, Арган, Гаусс) поняли, что комплексными числами можно моделировать векторные величины на плоскости. Если действительные числа (состоящие из одного элемента) одномерны –они размещаются на одной координатной оси. Комплексные числа состоят из двух элементов, для их представления необходима уже плоскость и две координатные оси. Это значит, что они двумерны.
Оказалось, что комплексное число z = a + b · i можно изобразить точкой М(a, b)на координатной плоскости. Позднее выяснили, что удобнее всего изображать число не самой точкойМ, а в виде вектора , идущего из начала координат в точку с координатами а и b. Вектор можно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и углом ц, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом a = r · cos ц, b = r · sin ц и число z принимает вид z = r ·(cos ц + i · sin ц), который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число ц называют аргументом z и обозначают Arg Z. Заметим, что если z = 0, значение Arg Z не определено, а при z ? 0 оно определено с точностью до кратного 2р. Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать числоz в виде z = r · eiМц (показательная форма комплексного числа) Геометрическое истолкование комплексных чиселпозволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.
5. Векторные числа
В дальнейшем стали разыскивать некие трехмерные числа, которые моделировали бы векторные величины в пространстве с его тремя координатными осями. Бился над этой задачей и ирландский ученый Гамильтон. После 15-ти лет работы в 1843 году Гамильтон придумал таки трехмерные числаa + bi + cj + dk, где i = j = k = и откладываются каждый на своей оси. Такие числа - комплексные a + bi и мнимые cj и dk по двум дополнительным осям – Гамильтон назвал кватернионами (quaterni в переводе с латыни – четыре). Позже, в 1853 году, как вариант кватернионов, Гамильтон предложил более удобные числа bi + cj + dkи назвал их векторными числами. Они и обобщили все предыдущие числа на 5-ом уровне обобщения.
6. Матричные числа
Алгебраические операции над векторными величинами создали многоэлементные числовые объекты, названные по предложению Эйнштейна тензорными величинами. Для их моделирования Артур Кэли в 1850 году ввел числа, в которых элементы (более трех) записывались уже квадратными и прямоугольными таблицами (матрицами) и рассматривались как единый числовой объект.
Векторные числа + тензорные величины породили матричные числа. Это был 6-ой уровень обобщения чисел. Выделим особенность всех сложных (комплексных, векторных, матричных) чисел: они моделируют сразу два свойства – количество и направление моделируемых величин. 7. Трансфинитные числа
Наконец, в 1883 году немецкий ученый Георг Кантор, по-видимому, оценив многовековую историю последовательного обобщения чисел, в которойнатуральные числа были обобщены рациональными, а те в свою очередь – действительными, те – комплексными, те – векторными, те – матричными, создал на этом материале свою теорию трансфинитных (бесконечных, запредельных) чисел. Для этого он назвал множеством всякий набор элементов, который можно сопоставить с частью самого себя, как например, целые числа сопоставляются с четными числами: Кантор заметил, что такое множество должно содержать бесконечное число элементов. А если эти элементы сопоставимы с множеством натуральных чисел, то их количество образует первоетрансфинитное число а0 (алеф-нуль – с иврита). Но множество а0 тоже бесконечно много, и они вместе, как количество элементов нового множества, образуют следующее трансфинитное числоа1 . И так далее…
Такой красивой теорией Кантор завершил обобщение чисел на 7-ом уровне. И до настоящего времени абстрактнее ее нет: пока ничто не поглотилотрансфинитные числа. Однако правда и то, что трансфинитные числа не нашли еще применения за пределами самой математики. История с нулем и комплексными числами снова повторяется для трансфинитных чисел: что ими можно моделировать? Уже больше века не знают. Может, Кантор породил красивую, но мертвую теорию?
Кантор долго анализировал трансфинитные числаи установил, что они могут моделировать либо просто количество (тогда это количественные, кардинальные трансфинитные числа, например–множество учеников в классе), либо количество и направление (тогда это порядковые, ординальные трансфинитные числа, например–то же множество учеников, но упорядоченное по успеваемости). Но эти свойства (количество и направление) успешно моделируются числа меньших уровней обобщения. А таблица чисел подсказывает закономерность: чтобы стать абстрактнее, новые числа должны моделировать больше, развиваясь от уровня к уровню либо экстенсивно, меняясь количественно (например, в учете моделирующих элементов числами уровней 1, 2, 3: натуральные + ноль + отрицательные + иррациональные; или в учете моделируемых направлений числами уровней 3, 4, 5, 6: одномерно-двумерные-трехмерные-многомерные и т. п).
8. Функции = функциональные числа?
Наш земляк С. Ф. Клюйков утверждает, что принятые во всем мире и представленные в таблице 1 уровни обобщения чисел не совсем полны, они включает не все уже известные числа.
8. 1. Функциональная зависимость
Так, система координат была предложена в 1637 году Рене Декартом не для изображениякомплексных чисел, а для представления функций, уравнений, описывающих различные кривые линии, поверхности, объемы тел–моделирующих аналитически любые геометрические формы. Но не только один Декарт, много других ученых до и после него приложило немало усилий в формирование нового общего понятия– функциональная зависимость.
Для этого пришлось перейти от конкретных чисел к их буквенным символам, которые могли принимать то одно, то другое количественное значение, могли меняться, были переменными. Эти переменные величины назвали аргументами и функциями, а выражения, связывающие их, - уравнениями, формулами, функциональными зависимостями. И так увлеклись этими названиями, отражающими только одно из свойств чисел, что забыли:
аргументы и функции первоначально все-таки числа, но уже иные – функциональные числа. Это такие же математические модели, как и предыдущие (натуральные, рациональные, действительные) числа, но с новым свойством –способностью моделировать не только количество, но и его функциональную зависимость от других количеств. Это позволило моделировать не только “стада баранов”, но и изменяющиеся процессы, движение, саму жизнь… С. Ф. Клюйков выделяет функциональные числа как 8-ой уровень обобщения чисел. И. Бернулли (1718 г) и Л. Эйлер (1748 г) называли функцией “количество”, образованное переменными и постоянными величинами, зависящее от них. П. Дирихле (1837 г) называл то же“количество” - “значение”, которому соответствует определенное значение аргумента. Н. И. Лобачевскмй (1834 г) назвал функцией “число”, зависящее от аргумента. БСЭ (1978 г) называет функцией “зависимость” двух переменных величин. Таким образом, разные авторы дают разное определение функции: “количество”, “число”, “зависимость”, акцентируясь на разных гранях этого сложного понятия, так как функция одновременно и“количество”, и “число”, и “зависимость”, а именно: функция – это число, моделирующее количество и зависимость. 8. 2. Развитие функциональных чисел
История зарождения и развития функциональных чиселчрезвычайно длительна и богата. Их совершенствовали уже ученые Древнего Востока (Х в. до н. э. ), находя объемы сосудов для зерна, сдаваемого в виде налога; античные греки (III в. до н. э. ), исследуя конические сечения; Галилей (1638 г. ), проверяя опытом свои формулы движения тел. Впервые ясно и отчетливофункциональные числабыли представлены Лагранжем (1797 г. ) в теории функций действительного переменного и ее приложении к разнообразным задачам алгебры и геометрии. Однако в наши днифункциональные числапродолжают совершенствовать, несмотря на громадный накопленный опыт: весь математический анализ с его бесконечными рядами, пределами, минимумами и максимумами, с дифференциальным, интегральным и вариационным исчислением, уравнениями и методами их решения.
Но еще более значительными были успехи математики при добавлении способности моделировать функциональную зависимость комплексным числам (Даламбер, 1746 г. ). Так возникликомплексно-функциональные числа(9-ый уровень обобщения) в форме функций комплексного переменного, с помощью которых были построены многие полезные математические модели сложных процессов, упрощенно доказательство многих теорем, выполнено описание двухмерных векторов, скалярных и векторных полей, отображение одной плоскости на другую и т. д. Благодаря соединению способности моделировать функциональную зависимость с векторными числами (Гамильтон, 1853 г. ), возникливекторно-функциональные числа (10-ый уровень обобщения). А это –векторный анализ, векторные функции, моделирование переменных полей в сплошных средах и многие достижения теоретической физики…
Добавление матричным числам способности моделировать функциональную зависимость (Клебш, 1861 г. ) создало матрично-функциональные числа (11-ый уровень обобщения), а с ними: алгебру матриц, матричное представление линейных векторных пространств и линейных преобразователей, много новых математических моделей, тензорный анализ пространств с кривизной. теорию поля в физике и т. д.
Если добавить трансфинитным числамКантора способность моделировать функциональную зависимость, то возникнут новые, трансфинитно-функциональные числа(12-ый уровень обобщения), функции трансфинитного переменного, которые, благодаря максимальному на сегодняшний день обобщению, позволят с большей простотой и стандартностью промоделировать все доступное предыдущим числам и откроют новые перспективы в моделировании еще более сложных задач. Заключение
1. Показано, что современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел. 2. При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства: правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям;
новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.
3. К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные , матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.
Литература
1. Клюйков С. Ф. Числа и познание мира. – Мариуполь: Полиграфический центр газеты “ИнформМеню”. 1997г. – 112 с. 2. Бородін О. І. Історія розвитку поняття про число і системи числення. – Київ: ”Радянська школа”. 1968 р. - 115 с. 3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. –Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960 г. – 368 с. 4. Рывкин А. А. , Рывкин А. З. , Хренов Л. С. Справочник по математике для техникумов. 3-е издание. – Москва, “Высшая школа”, 1975г. – 554 с. 5. Г. И. Гейзер. История математики в школе. Пособие для учителей. – М. : Просвещение, 1981. – 239 с.
