Число как основное понятие математики - (курсовая)
p>Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид– проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби. 2. 1. 8. 1. ПроцентыСлово “процент” происходит от латинских слов pro centum, что буквально означает “за сотню” или “со ста”. Процентами очень удобно пользоваться на практике, так они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целым.
Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.
Ныне процент – это частный вид десятичныхдробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые промилле (от латинского pro mille – “с тысячи”), обозначаемые ‰ по аналогии со знаком процента - %. Однако на практике в большинстве случаев“тысячные”- слишком мелкие доли, десятые же доли слишком крупные. Поэтому больше всего удобны сотые доли, иначе говоря, проценты.
В нашей стране ими пользуются при составлении и учете выполнения производственных планов в промышленности и сельском хозяйстве. при разных денежных расчетах.
Таким образом, исторически первым расширением понятия о числе является присоединение к множеству натуральных чисел множества всех дробных чисел. Отрицательные числа
Обходиться только натуральными числами неудобно. Например, ими нельзя вычесть большее из меньшего. Для такого случая были введены отрицательные числа: китайцами– в Х в. до н. э. , индийцами – в VII веке, европейцами – только в XIII веке. 2. 2. 1. Отрицательные числа в Древней Азии
Положительные количества в китайской математике называли “чен”, отрицательные – “фу”; их изображали разными цветами: “чен” - красным, “фу”- черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел–цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.
В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас.
Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598– около 660 гг. ) мы читаем: “имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество–долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму”.
Отрицательными числами индийские математики пользовались при решении уравнений, причем вычитание заменяли добавлением с равнопротивоположным числом. Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие ноль, что позволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое время ноль не признавали числом, “nullus” по- латыни –никакой, отсутствие числа. И лишь через X веков, в XVII-ом столетии с введением системы координат ноль становится числом.
2. 2. 2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе
В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками “ + ” и “ - ”применил немецкий математик Видман, однако еще в ХVI столетии много математиков (например, Виет) не признавали отрицательных чисел.
Натуральные числа, противоположные им (отрицательные) числа и ноль называются целыми числами. Целые и дробные числа на 2-ом уровне обобщения получили общее название - рациональные числа. Их называли также относительными, потому что любое их них можно представить отношением двух целых чисел. Каждоерациональное число можно представить как бесконечную периодическую десятичную дробь. С помощью рациональных чисел можно осуществлять различные измерения (например, длины отрезка при выбранной единице масштаба) с любой точностью. То есть совокупностьрациональных чисел достаточна для удовлетворения большинства практических потребностей.
3. Действительные числа
3. 1. Иррациональные числа
Еще в Древнем Египте и Вавилоне ХХ веков назад были известны так называемые несоизмеримые отрезки (, , р…), которые нельзя было выразить отношением, относительными, рациональными числами.
Точно не известно, исследование каких вопросов привело к открытию несоизмеримости. Это могло произойти:
в геометрических расчетах при нахождении общей меры стороны и диагонали квадрата;
в теории музыки при попытках поделить октаву пополам, что сводится к определению среднего геометрического между 1 и 2;
в арифметике при определении дроби, квадрат которой равняется двум. Речь шла об отыскании и исследовании величины, которую мы теперь обозначаем . Открытие факта, что между двумя отрезками – стороной и диагональю квадрата –не существует общей меры, привело к настоящему кризису основ, по крайней мере, древнегреческой математики.
Факт существования несоизмеримых отрезков, тем не менее, не тормозил развитие геометрии в древней Греции. Греки разработали теорию отношения отрезков, которая учитывала возможность их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие соотношения по величине, выполнять над ними арифметические действия в чисто геометрической форме, иначе говоря, пользоваться такими соотношениями как числами.
Индийцы рассматривали иррациональные числа как числа нового вида, но допускающие над ними такие же арифметические действия, как и над рациональными числами. Например, индийский математик Бхаскара уничтожает иррациональность в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на тот же самый иррациональный множитель. У него мы встречаем выражения:
Развивая тригонометрию как самостоятельную научную дисциплину, азербайджанский ученый XIII столетия Насретдин ат-Туси (1201- 1274 гг. ) трактует соотношение несоизмеримых величин как числа: “Каждое из этих соотношений может быть названо числом, которое измеряется единицей так же само, как один из членов соотношения обозначается другим из этих членов”. Похожую трактовку числа давал и Омар Хайям.
В Европе существование геометрических несоизмеримых величин в средние века не оспаривалось, но для многихиррациональные числабыли лишь символами, лишенными точно определенного содержания, поэтому их называли“глухими”, “недействительными”, “фиктивными” и т. д. Только после появления геометрии Декарта (1637 г) началось применение иррациональных, как впрочем, и отрицательных чисел. Идеи Декарта привели к обобщению понятия о числе. Между точками прямой и числами было определено взаимно однозначное соответствие. В математику была введена переменная величина.
В начале XVIII столетия существовало три понятия иррационального числа: иррациональное число рассматривали как корень n-ой степени из целого или дробного числа, когда результат извлечения корня нельзя выразить“точно” целым или дробным числом;
иррациональное числотрактовали как границу, к которой его рациональные приближения могут подойти как угодно близко;
число рассматривали как отношение одной величины к другой величине того же самого рода, взятой за единицу; когда величина несоизмерима с единицей, число называлииррациональным.
Позднее Эйлер, Ламберт показали, что иррациональные числаможно представить бесконечными непериодическими десятичными дробями (например, р = 3, 141592…).
Свое дальнейшее развитие теория иррациональных чиселполучила во второй половине XIX века в трудах Дедекинда, Кантора и Вейерштрасе в связи с потребностями математического анализа.
Рациональные и иррациональные числа на 3-ем уровне обобщения образовали действительные числа. 3. 2. Алгебраические и трансцендентные числа
Действительные числа иногда подразделяют также на алгебраические и трансцендентные. Алгебраическиминазывают числа, которые являются корнями алгебраических многочленов с целыми коэффициентами, например, , , 4, . Все остальные (неалгебраические) числа относятся к трансцендентным. Так как каждое рациональное число p/q является корнем соответствующего многочлена первой степени с целыми коэффициентамиqx –p, то все трансцендентные числа иррациональны. Выделим характерные особенности рассмотренных (натуральных, рациональных, действительных) чисел: они моделируют только одно свойство –количество; они одномерны и все изображаются точками на одной прямой, называемой координатной осью.
4. Комплексные числа
4. 1. Мнимые числа
Еще более странными, чем иррациональные, оказались числа новой природы, открытые итальянским ученым Кардано в 1545 году. Он показал, что система уравнений, не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , . Нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что· = -.
Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался не употреблять. Долгое время эти числа считали невозможными, несуществующими, воображаемыми. Декарт назвал их мнимыми, Лейбниц– “уродом из мира идей, сущностью, находящейся между бытием и небытием”. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины.
