Число как основное понятие математики - (курсовая)
p>Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере“асс”, который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей– унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12, 2/12, 3/12… Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12 римляне говорили “одна унция”, 5/12 – “пять унций” и т. д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной. Сейчас “асс” - аптекарский фунт.2. 1. 3. Дроби в Древнем Египте
Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали1/4, 1/8 …, затем 1/3 , 1/6 и т. д. , то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами. В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.
Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.
Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результате измерения получалось дробное число3/4 , то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей Ѕ + ј . 2. 1. 4. Вавилонские шестидесятеричные дроби
Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Ученые, изучая их, установили, что за 2000 лет до н. э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития.
Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась их двух значков: вертикального клинаЎ, обозначавшего единицу, и условного знака
1 мина = 60 шекель.
Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602 = 3600, 603= 216000 и т. д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.
Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин. , минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин. , минуты на 60с.
Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя ихастрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названыобыкновенными.
2. 1. 5. Нумерация и дроби в Древней Греции
В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел – отделяли от логистики –искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Здесь мы впервые встречаемся с общим понятием дроби видаm/n. Таким образом, можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до области дополнительныхрациональных чиселв Древней Греции не позднее V столетия до н. э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали. В Древней Греции существовали две системы письменной нумерации: аттическая и ионийская или алфавитная. Они были так названы по древнегреческим областям - Аттика и Иония. В аттической системе, названной такжегеродиановой, большинство числовых знаков являются первыми буквами греческих соответствующих числительных, например, ГЕNTE (генте или центе)– пять, ДЕКА (дека) –десять и т. д. Эту систему применяли в Аттике до I века н. э. , но в других областях Древней Греции она была еще раньше заменена более удобной алфавитной нумерацией, быстро распространившейся по всей Греции.
Греки употребляли наряду с единичными, “египетскими”дробями и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним– числитель дроби. Например, 5/3 означало три пятых и т. д. 2. 1. 6. Нумерация и дроби на Руси
Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, наши предки-славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной с ионийской. Над буквами-числами ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячи применялся другой знак, который приставлялся слева от букв.
В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее “ломаными числами”. В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси: 1/2 - половина, полтина
1/3 – треть
1/4 – четь
1/6 – полтреть
1/8 - полчеть
1/12 –полполтреть
1/16 - полполчеть
1/24 – полполполтреть (малая треть)
1/32 – полполполчеть (малая четь)
1/5 – пятина
1/7 - седьмина
1/10 - десятина
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
2. 1. 7. Дроби в других государствах древности
В китайской “Математике в девяти разделах” уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями. У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим. Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя. Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст. ) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями:
В XV –XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.
Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: “Попасть в дроби”, что означало –зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.
2. 1. 8. Десятичные дроби
Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц длины было быпостоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер. Она возникла во Франции как одно из следствий буржуазной революции. Новые меры должны были удовлетворять следующим требованиям:
основой общей системы мер должна быть единица длины;
меры длины, площади, объема, вместимости и веса должны быть связаны между собой;
основную меру длины следовало выбрать так, чтобы она была постоянной “для всех времен и всех народов”; основанием системы мер необходимо было взять число, равное основанию системы счисления.
Во Франции за основную меру длины приняли одну десятимиллионную часть четверти земного меридиана и назвали ееметром (от греческого слова “метрон”, означающего “мера”). На основании измерений меридиана, сделанных французскими учеными Мешеном и Деламбром, был изготовлен впоследствии платиновый эталон метра. Число 10 легло в основу подразделений метра. Вот почему метрическая система мер, применяемая ныне в большинстве стран мира, оказалась тесно связанной сдесятичной системой счисления и с десятичными дробями. Однако следует отметить, что европейцы не первые, кто пришел к необходимости использоватьдесятичные дроби в математике.
Зарождение и развитие десятичныхдробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н. э. там существоваладесятичная система мер длины. Примерно в III веке н. э. десятичный счет распространился на меры массы и объема. Тогда и было создано понятие одесятичной дроби, сохранившей, однако метрологическую форму. Например, в Китае в Х веке существовали следующие меры массы: 1 лан = 10 цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105 сы = 106 хо.
Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, то есть десятых, сотых и т. д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченныхдесятичных дробей. Целую часть стали отделять от дробной особым иероглифом “дянь” (точка). Однако в Китае как в древние, так и в средние века десятичныедроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.
Более полную и систематическую трактовку получают десятичныедроби в трудах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке. Независимо от него, в 80-тых годах XVI векадесятичные дроби были “открыты” заново в Европе нидерландским математиком Стевином. С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.
