Билеты по аналитической геометрии - (реферат)
p>y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u. -----------x=a+x’
y=b+y’ - формулы параллельного переноса
ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.
Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3
Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.
Определение:
I2>0 – элиптический тип
I2 I2=0 – параболический тип
ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).
Параллельный перенос:
Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т. о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого: a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2)
точка О’ находится из условия: a13’=0 и a23’=0.
Получается система a11x0+a12y0+a13=0 и a12x0+a22y0+a23=0
Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’; y’)=0, f(-x’; -y’)= f(x’; y’)
Но точка О’ существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля. Точка O’ – единственная точка.
Центр симметрии кривой существует если I2№0 т. е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа Поворот:
Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т. е. мы делаем коэфф. а12=0. a12’= -0, 5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0 (разделим на sin2u), получим: , после такого преобразования уравнение принимает вид
a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0 (3)
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система векторов а1, а2, а3, …, ал (1) одной размерности. Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a1а1+a2а2+…+aлал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a1, a2, …, aл=0 и ОR Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одномai№0 (i=1, …, k)
Свойства
Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.
Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.
Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой. Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.
Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а№0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g, что b=ga. Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллинеарны.
Доказательство: достаточность. Т. к. векторы коллинеарны, то b=ga. Будем считать, что а, b№0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-ga=0. Т. к. коэфф. При b№0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. aа+bb=0, a№0. а= -b/a*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число. Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.
Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т. к. векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0, g№0. с= - a/g*а - b/g*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.
БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.
В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора. В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.
В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.
2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.
(а, b)=|a| |b| cos u, u90, пр-е отриц. Свойства:
(а, b)= (b, а)
(aа, b)= a (а, b)
(а+b, с)= (а, с)+ (b, с)
(а, а)=|a|2 – скал. квадрат.
Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0. Определение: вектор называется нормированным, если его скал. кв. равен 1. Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.
Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат. Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a, b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a, b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с, а)=0 и (с, b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
Свойства:
[a, b]= - [b, a]
[aа, b]= a [а, b]
[a+b, c]=[a, c]+[b, c]
[a, a]=0
Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.
Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй– координаты первого вектора, в третьей – координаты второго. Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. ea=a/|a|
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
1. Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9. Угол между пр. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр. не равны нулю.
Теорема: n(A, B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).
Доказательство: подставим коорд. т. М0 в ур-е (1) и получим Ах0+By0+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A, B), М0М(х-х0, y-y0). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т. о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A, B) называется нормальным вектором прямой.
Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0 и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и т. д.
Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.
1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0, 0)
2. С=0, А=0, By=0, значит у=0
3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0
4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ
5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY
x/a+y/b=1.
Геом. смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b x-x1/e=y-y1/m
Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл. пр. ). Возьмем на прямой произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)
x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1
Пусть на прямой даны две точки М1(x1; y1) и М2(x2; y2). Т. к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1) y=kb+b.
u –угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u
Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1) при y1-kx1=b, y=kx+b xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x, y) –произв. точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал. произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части. Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т. к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности. Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
