Билеты по аналитической геометрии - (реферат)

p>Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до фокусов; |r2-r1|=2a; a
    ,
    x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)
    x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)
    c2-a2=b2
    x2b2-a2y2=a2b2
    - каноническое ур-е гиперболы
    ПАРАБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

    Каноническое уравнение:

Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d; r=sqrt((x-p/2)2+y2); d=p/2+x

    Приравниваем и получаем:
    y2=2px - каноническое уравнение параболы
    ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а. е=с/а

    е эллипсв c)
    е гиперболы >1 (т. к. с>a)
    Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.
    Выразим эксцентриситеты через а и b:
    е эллипса является мерой его “вытянутости”
    е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскостиaперпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е
    D1: x= - a/e
    D2: x= a/e
    р=а(1-е2)/е – для эллипса
    р=а(е2-1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ. Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

    Доказательство: для эллипса.
    r1/d1=e
    xЈ|a|, xe+a>0
    r1=xe+a
    d1 – расстояние от М(x, y) до прямой D1
    xcos180+ysin180-p=0
    x=-p
    x=-a/e
    бм=-x-a/e

d1=-бм (минус, т. к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд. )

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если 1, параболу, если =1.

    ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
    Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус. r= r

    d=p+rcosj
    e=r/p+rcosj

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

    КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0; y0) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

    у-у0=y’(x0)(x-x0)
    Рассмотрим касательную к кривой следовательно
    ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0
    - уравнение касательной к эллипсу.
    - уравнение касательной к гиперболе.
    - уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ. Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами: (е1; е1’)=cos u

    (е1; е2’)=cos (90+u)= -sin u
    (е2; е1’)=cos (90-u)=sin u
    (е2; е2’)=cos u
    Базис рассматривается ортонормированный:
    (е1; е1’)=(е1, a11е1+a12е2)= a11
    (е1; е2’)= (е1, a21е1+a22е2)= a21
    (е2; е1’)= a12
    (е2; е2’)= a22
    Приравниваем:
    a11=cos u
    a21= - sin u
    a12=sin u
    a22=cos u
    Получаем:
    x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u. -----------

    x=a+x’
    y=b+y’ - формулы параллельного переноса
    ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

    Определение:
    I2>0 – элиптический тип
    I2    I2=0 – параболический тип
    ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.
    Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).
    Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т. о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого: a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2)

    точка О’ находится из условия: a13’=0 и a23’=0.
    Получается система a11x0+a12y0+a13=0 и a12x0+a22y0+a23=0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’; y’)=0, f(-x’; -y’)= f(x’; y’)

Но точка О’ существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля. Точка O’ – единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I2№0 т. е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т. е. мы делаем коэфф. а12=0. a12’= -0, 5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0 (разделим на sin2u), получим: , после такого преобразования уравнение принимает вид

    a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0 (3)
    ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т. е. I2>0 и пусть I1>0 следовательно уравнение (1) определяет: 1. I30 – ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

    Доказательство:
    1. пусть I2>0, I1>0, I3    а11’’x’’2+a22’’ y’’2= -I3/I2
    I2=a11’’a22’’ > 0
    I1= a11’’+a22’’ > 0
    a11’’ > 0; a22’’ > 0

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса. 2. I3>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа. 3. I3=0 в данном случае т(0, 0) – случай вырождения эллипса.

    ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т. е. I20; a22’’0

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ. Пусть I3
    -(-а11’’)x’’2+a22’’ y’’2= -I3/I2
    В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY
    Пусть I3=0
    а11’’x’’2-(-a22’’)y’’2=0
    АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x, y)= a11x2+2a12xy+a22y2

Определение: ненулевой вектор (a, b) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

    (a, b) – вектор асимптотического направления.
    a11a2+2a12ab+a22b2=0 (*)

Рассмотрим (a’, b’) параллельный (a, b): следовательно . Дробь a/b характеризует вектор асимптотического направления. Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка. Решение: положим, что b№0 и поделим на b2, получим: a11(a/b)2+2a12a/b+a22=0 из этого квадратного уравнения найдем a/b.

т. к. у линий гиперболического и параболического типов I2Ј0, то они имеют асимптотические направления. Т. к. у эллипса I2>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

    Найдем асимптотические направления у гиперболы:
    (a, b)1=(a, b)
    (a, b)2=(-a, b)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8