Быстрый поиск

Билеты по аналитической геометрии - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а1, а2, а3, …, ал (1) одной размерности. Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a1а1+a2а2+…+aлал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a1, a2, …, aл=0 и ОR Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одномai№0 (i=1, …, k)

Свойства

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой. Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а№0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g, что b=ga. Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т. к. векторы коллинеарны, то b=ga. Будем считать, что а, b№0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-ga=0. Т. к. коэфф. При b№0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. aа+bb=0, a№0. а= -b/a*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число. Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т. к. векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0, g№0. с= - a/g*а - b/g*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора. В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а, b)=|a| |b| cos u, u90, пр-е отриц. Свойства:

    (а, b)= (b, а)
    (aа, b)= a (а, b)
    (а+b, с)= (а, с)+ (b, с)
    (а, а)=|a|2 – скал. квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0. Определение: вектор называется нормированным, если его скал. кв. равен 1. Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат. Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a, b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a, b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с, а)=0 и (с, b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

    Свойства:
    [a, b]= - [b, a]
    [aа, b]= a [а, b]
    [a+b, c]=[a, c]+[b, c]
    [a, a]=0

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй– координаты первого вектора, в третьей – координаты второго. Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. ea=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

1. Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9. Угол между пр. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр. не равны нулю.

Теорема: n(A, B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Доказательство: подставим коорд. т. М0 в ур-е (1) и получим Ах0+By0+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A, B), М0М(х-х0, y-y0). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т. о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A, B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0 и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и т. д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

    1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0, 0)
    2. С=0, А=0, By=0, значит у=0
    3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0
    4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ
    5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY
    x/a+y/b=1.

Геом. смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b x-x1/e=y-y1/m

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл. пр. ). Возьмем на прямой произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)

x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1

Пусть на прямой даны две точки М1(x1; y1) и М2(x2; y2). Т. к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1) y=kb+b.

u –угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1) при y1-kx1=b, y=kx+b xcosq+ysinq-P=0

q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x, y) –произв. точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал. произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части. Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0

т. к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности. Cos2q=(A*t)2

Sin2q=(B*t)2
-p=C*t

cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t. Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x1 и y=mt+y1

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой. 1. xcosq+ysinq-P=0

q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q

т. к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности. Cos2q=(A*t)2

Sin2q=(B*t)2
-p=C*t

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б –отклонение точки от прямой. б=d, если нач. коорд. и точка по разные стороны; = d, если нач. коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosq+ysinq-P=0 и М1(x1; y1), тогда отклонение точки М1 = x1cosq+y1sinq-P=0 Задача: найти расстояние от точки М0(x0; y0) до прямой Ах+By+C=0. Т. к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0cosq+y0sinq-P|. d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2)

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8