Умозаключение, суждение
Под доказательством в логике понимается процедура установления
истинности некоторого утверждения путем приведения других утверждений,
истинность которых уже известна и из которых с необходимостью вытекает
первое.
В доказательстве различаются тезис - утверждение, которое нужно
доказать, основание (аргументы) - те положения, с помощью которых
доказывается тезис, и логическая связь между аргументами и тезисом. Понятие
доказательство всегда предполагает, таким образом, указание посылок, на
которые опирается тезис, и тех логических правил, по которым осуществляется
преобразования утверждений в ходе доказательства.
Доказательство - это правильное умозаключение с истинными посылками.
Логическую основу каждого доказательства (его схему) составляет логический
закон.
Доказательство - это всегда в определенном смысле принуждение.
Задача доказательства - исчерпывающе утвердить обоснованность тезиса. Раз в
доказательстве идет речь о полном подтверждении, связь между аргументом и
тезисом должна носить дедуктивный характер.
По своей форме доказательство - дедуктивное умозаключение или цепочка
умозаключений, ведущих от истинных посылок к доказываемому положению.
Обычно доказательство протекает в очень сокращенной форме. Видя
чистое небо, мы заключаем: «Погода будет хорошей». Это доказательство, но
до пределов сжатое. Опущено общее утверждение: «Всегда, когда небо чистое,
погода будет хорошей». Отпущена также посылка «Небо чистое». Оба эти
утверждения очевидны, их незачем произносить вслух.
Нередко в понятие доказательства вкладывается более широкий смысл:
под доказательством понимается любая процедура обоснования истинного
тезиса, включающая как дедукцию, так и индуктивное рассуждение, ссылки на
связь доказываемого положения с фактами, наблюдениями и т.д.
Как правило, широко понимается доказательство и в обычной жизни. Для
подтверждения выдвинутой идеи активно привлекаются факты, типичные в
определенном отношении явления и т.д. Дедукция в это случае, конечно, нет,
речь может идти только об индукции. Но тем не менее предлагаемое
обоснование нередко называют доказательством.
Определение доказательства включает два центральных понятия логики:
понятие истины и понятие логического следования. Оба эти понятия не
являются в достаточной мере ясными, значит, определяемое через них понятие
также не может быть отнесено к ясным.
Многие не являются ни истинными, ни ложными, т.е. лежат вне
«категории истины». Оценки, нормы, советы, декларации, клятвы, обещания и
т.п. не описывают каких-то ситуаций, а указывают, какими они должны быть, в
каком направлении их нужно преобразовывать. Очевидно, что оперируя
выражениями, не имеющими истинного значения, можно и нужно быть и логичным
и доказательным. Встает, таким образом, вопрос о существенном расширении
понятия доказательства, определяемого в терминах истины. Задача
переопределения доказательства пока не решена ни логикой оценок, ни
деотической (нормативной) логикой.
Образцом доказательства, которому в той или иной мере стремятся
следовать во всех наук, является математическое доказательство.
Математическое доказательство является парадигмой доказательства вообще, но
даже в математике доказательство не является абсолютным и окончательным.
ПРЯМОЕ И КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Все доказательства делятся по своей структуре, по общему ходу мысли
на прямые и косвенные. При прямых доказательствах задача состоит в том,
чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис.
Косвенные доказательства устанавливают справедливость тезиса тем, что
вскрывают ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.
Например: Все космические тела подпадают под действие законов небесной
механики.
Кометы - космические тела.
следовательно, кометы подчиняются данным законам.
В построении прямого доказательства можно выделить два связных между
собою этапа: отыскание тех признанных обоснованным утверждений, которые
способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения;
установление логической связи между найденными аргументами и тезисом.
В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем.
Вместо того, чтобы прямо отыскать аргументы для выведения из них
доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого
положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность
антитезиса. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным.
Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого
положения, оно является, доказательством от противного.
Например: Если бы выступление было скучным, оно не вызвало бы
стольких вопросов и острой, содержательной дискуссии. Но оно вызвало такую
дискуссию. Значит, выступление было интересным.
Таким образом, косвенное доказательство проходит следующие этапы:
выдвигается антитезис и из него выводятся следствия с намерением найти
среди них хотя бы одно ложное; устанавливается, что антитезис неверен; из
ложности антитезиса делается заключение, что тезис является истинным.
ВИДЫ КОСВЕННЫХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
В зависимости от того, как показывается ложность антитезиса, можно
выделить несколько вариантов косвенного доказательства.
Ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из
него следствий с фактами, эмпирическими данными.
Еще один путь - анализ самой логической структуры следствий
антитезиса. Если в числе следствий встретились и утверждение, и отрицание
одного и того же, можно сразу заключить, что антитезис неверен. Ложным он
будет и в том случае если, из него выводится внутренне противоречивое
высказывание о тождестве утверждения и отрицания.
Если имеется в виду только та их часть, в которой показывается
ошибочность некоторого предположения, они именуются приведением к абсурду
(нелепости). Привести некоторое утверждение к абсурду - значит
продемонстрировать ложность этого утверждения, выведя из него противоречие.
Следует учитывать, что существует одна разновидность косвенного
доказательства, которая не требует искать ложные следствия. В этом случае
для доказательства утверждения достаточно показать, что оно логически
вытекает из своего собственного отрицания.
- Стало быть, по-вашему, убеждений нет?
- Нет - и не существует.
- Это ваше убеждение?
- Да.
- Как же вы говорите, что их нет?
Во всех рассмотренных выше косвенных доказательствах выдвигаются две
альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в
итоге подтверждения тезиса. Если же число рассматриваемых возможностей не
ограничивать двумя - доказываемым утверждением и его отрицанием, то это
будет так называемое косвенное доказательство. Доказательство ведется
следующим путем: одна за другой исключаются все альтернативы, кроме одной,
которая и является доказательным тезисом. В стандартных косвенных
доказательствах альтернативы - тезис и антитезис - исключают друг друга в
силу законов логики.
Косвенное доказательство представляет собой эффективное средство
обоснования выдвигаемых положений. Имея дело с этим доказательством, мы все
время вынуждены сосредотачивать свое внимание не на тезисе, справедливость
которого следует обосновать, а на его отрицании, являющемся ошибочным
предложением. Не удивительно поэтому, что после того, как такое
доказательство проведено, ход его иногда рекомендуют тут же забыть, оставив
в памяти только доказанный тезис.
ОПРОВЕРЖЕНИЕ
Важно уметь не только доказать правильное положение, но и
опровергнуть ошибочное.
Опровержение - это рассуждение, направленное против выдвинутого
тезиса и имеющее целью установление его ложности или недоказанности.
Наиболее распространенный прием опровержения - выведение из
опровергаемого утверждения следствий, противоречащих истине. Хорошо
известно, что если даже одно- единственное логическое следствие некоторого
положения ложно, то ложным является и само положение.
Другой пример установления ложности тезиса - доказательство
истинности его отрицания. Утверждение и его отрицание не могут быть
одновременно истинными. Как только удается показать, что верным является
отрицание тезиса, вопрос об истинности самого тезиса автоматически
отпадает.
Достаточно, скажем, показать одного белого медведя, чтобы
опровергнуть убежденность в том, будто медведи бывают только бурыми.
