Системный анализ проблемы многофакторного прогнозирования финансовых фондов государства

1) темпы роста ВВП, %;

22) уровень субсидий, млн. грн. - уровень пособия в денежной или натуральной форме, предоставляемое государством за счет средств государственного или местного бюджетов;

23) уровень миграции, % - увеличение или уменьшение населения на каждую 1000 человек в конкретном году за счет людей, вливающихся в общество (иммигрантов) или выбывающих из общества (эмигрантов);

24) уровень образования, % - констатация достижения обучающимся гражданином установленных государством образовательных уровней (образовательных цензов);

25) импорт / экспорт, млн. грн. - стоимость конечных товаров и услуг, ввозимых / вывозимых из страны, выраженная в текущих ценах;

26) отношение иностранной собственности к национальной, млн. грн.

3. Формальная постановка задачи многофакторного прогнозирования финансовых фондов государства

Исходя из проведенного системного анализа и согласно содержательной постановке задачи, приведем формальную постановку задачи исследования. В данной работе предлагается рассматривать задачу анализа и оптимизации бюджета государства. Основной концепцией при формировании бюджета выступает положение о том, что бюджет должен быть сбалансированным, то есть разница между доходами и затратами должна быть минимальной. Тогда задачу исследований можно сформулировать в виде следующей оптимизационной задачи:

, (3.1)

где - мера не сбалансированности бюджета;

- функция, определяющая доходы государства;

- функция, определяющая расходы государства;

- независимые наблюдаемые факторы;

- факторы, составляющие бюджета.

Задача составления сбалансированного бюджета сводится к минимизации отклонения расходов от доходов за счет регулирования независимыми факторами, с учетом ограничений на ресурсы и исходя из физической реализуемости данного процесса.

К независимым наблюдаемым факторам, которые целесообразно рассматривать, можно отнести следующие:

 - номинальный ВВП;

 - ВВП в сопоставимых ценах, в% к предыдущему году;

 - инфляция потребительских цен;

 - монетарная база;

 - темпы роста монетарной базы;

 - денежная масса, М0;

 - темпы роста М0;

 - денежная масса, М3;

 - темпы роста денежной массы М3;

 - денежный мультипликатор;

 - уровень монетизации;

 - показатель «финансовой глубины»;

 - депозиты населения;

 - темпы роста депозитов населения;

 - кредиты банков экономике;

 - черта бедности;

 - уровень рождаемости;

 - уровень урбанизации;

 - уровень безработицы;

 - уровень преступности;

 - темпы роста ВВП;

 - уровень субсидий;

 - уровень миграции;

 - уровень образования;

 - импорт / экспорт;

 - отношение иностранной собственности к национальной.

В то же время бюджет государства состоит из следующих компонент.

 - НДС;

 - акцизный сбор;

 - пошлина;

 - налог на прибыль;

 - подоходный налог с граждан;

 - налоги на собственность;

 - земельный налог;

 - платежи по ресурсам;

 - другие налоговые платежи;

 - неналоговые поступления;

 - социальная защита населения;

 - социально-культурная сфера;

 - фундаментальные исследования;

 - экономическая деятельность государства;

 - национальная оборона;

 - управление;

 - расходы на обслуживание государственного долга;

 - другие расходы;

Однако, не существует аналитической зависимости дохода и затрат от независимых факторов, поэтому в рамках данной дипломной работы ставиться задача определение такой зависимости для того, чтоб в дальнейшем можно было решить сформулированную оптимизационную задачу.

Исходя из вышесказанного, приведем формальную постановку задачи определения функциональной зависимости между независимыми факторами и доходом:

, (3.2)

где  - модель, описывающая связь между независимыми факторами и доходом, определенная методом группового учета аргументов;

- структура модели;

 - параметры модели.

При этом эта структура и параметры этой зависимости должны удовлетворять следующему критерию:

. (3.3)

В данной работе, как уже отмечено, задачу структурной и параметрической идентификации модели (3.2) согласно критерию (3.3) будем решать методом группового учета аргументов

4. Выбор и обоснование метода решения задачи многофакторного прогнозирования финансовых фондов государства

4.1 Обзор методов многофакторного прогнозирования

Одним из основных методов многофакторного прогнозирования является регрессионный анализ. Он применяется для построения математических зависимостей объектов, явлений по результатам экспериментальных данных, полученных на основе проведения активного или пассивного экспериментов.

Предполагается, что математическая зависимость относится к определенному классу функций с несколькими неизвестными параметрами. В общем виде эти функции представим так:

, (4.1)

где  - вектор зависимой (выходной) переменной размерностью ;

 - матрица независимых (входных) переменных размерностью ;

 - вектор неизвестных параметров размерностью ;

 - вектор возмущений размерностью ;

 - количество независимых переменных;

 - количество экспериментальных данных;

 - класс функциональных зависимостей.

В зависимости  - является случайной величиной, значения могут рассматриваться либо как фиксированные, либо как случайные. При этом ожидаемое значение одной случайной переменной соотносится с наблюдаемыми значениями других случайных переменных в виде условной регрессии.

Рассмотрим зависимость между случайными величинами и , представленную в виде некоторой таблицы наблюдений значений и .

Перенося табличные значения и на плоскость , получаем поле корреляции, приведенное на рисунке 4.1

Рисунок 4.1. Экспериментальное уравнение регрессии

Разобьем диапазон изменения на -равных интервалах . Все точки, попавшие в интервал , отнесем к середине интервала , в результате получаем трансформированное поле корреляции.

Определим частичные средние арифметические для каждого значения :

, (4.2)

где  - число точек, оказавшихся в интервале, причем , где  - общее число наблюдений.

Соединим последовательно точки с координатами и отрезками прямых. Полученная ломаная линия называется эмпирической линией регрессии по ; она показывает, как в среднем меняется с изменением . Предельное положение эмпирической линии регрессии, к которому она стремится при неограниченном увеличении числа наблюдений и одновременном уменьшении , называется предельной теоретической линией регрессии. Ее нахождение и составляет основную задачу регрессионного анализа. Отметим, что по линии регрессии невозможно точно определить значение по в одном опыте. Однако зависимость позволяет определить в среднем значение при многократном повторении опыта при фиксированном значении . В регрессионном анализе рассматривается связь между одной переменной, называемой зависимой, и несколькими другими, называемыми независимыми. Эта связь представляется в виде математической модели, т.е. в виде функции регрессии. Если функция линейна относительно параметров, но не обязательно линейна относительно независимых переменных, то говорят о линейной модели. В противном случае нелинейная. Статистическими проблемами обработки в регрессионном анализе являются:

1) получение наилучших точечных и интервальных оценок неизвестных параметров регрессионного анализа;

2) проверка гипотез относительно этих параметров;

3) проверка адекватности;

4) проверка множества предполагаемых предположений.

Исследуемый объект представлен на рисунке 4.2

Рисунок 4.2. Вид исследуемого объекта

Для корректного использования регрессионного анализа существует следующие предпосылки и следующие допущения на свойства регрессионной ошибки , ; - значение зависимой переменной, полученное подстановкой в уравнение , , ; - количество экспериментальных данных, - количество независимых переменных:

Приведем свойства и предпосылки регрессионной ошибки.

Свойства регрессионной ошибки:

1) в каждом опыте имеет нормальный закон распределения:

, ; (4.3)

2) в каждом опыте математическое ожидание равно нулю:

, ; (4.4)

3) во всех опытах дисперсия постоянна и одинакова:

, ; (4.5)

4) во всех опытах ошибки независимы:

, . (4.6)

Предпосылки регрессионной ошибки:

1) матрица наблюдений имеет полный ранг:

; (4.7)

2) структура модели адекватна истинной зависимости;

3) значения случайной ошибки не зависят от значений регрессоров ;

4) ошибки регистрации регрессоров пренебрежимо малы по сравнению со случайной ошибкой .

4.2 Метод группового учета аргументов

Метод группового учета аргументов (МГУА).использует идеи самоорганизации и механизмы живой природы - скрещивание (гибридизацию) и селекцию (отбор).

Рисунок 4.3

По результатам наблюдений надо определить F(x). Причем даже структура модели F(x) неизвестна.

Пусть имеется выборка из N наблюдений:

.

Наиболее полная зависимость между входами X(i) и выходами Y(i) может быть представлена с помощью обобщенного полинома Колмогорова-Габора.

Пусть есть , тогда такой полином имеет вид:

 (4.8)

где все коэффициенты а не известны.

При построении модели (при определении значений коэффициентов) в качестве критерия используется критерий регулярности (точности):

(4.9)

Необходимо, чтобы .

Принцип множественности моделей: существует множество моделей на данной выборке, обеспечивающих нулевую ошибку (достаточно повышать степень полинома модели). Т.е. если имеется N узлов интерполяции, то можно построить целое семейство моделей, каждая из которых при прохождении через экспериментальные точки будет давать нулевую ошибку:

(4.10)

Обычно степень нелинейности берут не выше n-1, если n - количество точек выборки.

Обозначим S - сложность модели (определяется числом членов полинома Колмогорова-Габора).

Значение ошибки зависит от сложности модели. Причем по мере роста сложности сначала она будет падать, а затем расти. Нам же нужно выбрать такую оптимальную сложность, при которой ошибка будет минимальна. Кроме того, если учитывать действие помех, то можно выделить следующие моменты:

При различном уровне помех зависимость от сложности S будет изменяться, сохраняя при этом общую направленность (имеется ввиду, что с ростом сложности она сначала будет уменьшаться, а затем - возрастать).

При увеличении уровня помех величина будет расти.

С ростом уровня помех, будет уменьшаться (оптимальное значение сложности будет смещаться влево) см. рис 4.2 Причем , если уровень помех ненулевой.

Рисунок 4.4

Теорема неполноты Гёделя: В любой формальной логической системе имеется ряд утверждений и теорем, которые нельзя ни опровергнуть, ни доказать, оставаясь в рамках этой системы аксиом.

В данном случае эта теорема означает, что выборка всегда неполна.

Один из способов преодоления этой неполноты - принцип внешнего дополнения. В качестве внешнего дополнения используется дополнительная выборка (проверочная), точки которой не использовались при обучении системы (т.е. при поиске оценочных значений коэффициентов полинома Колмогорова-Габора).

Поиск наилучшей модели осуществляется таким образом:

1) вся выборка делится на обучающую и проверочную:

2) на обучающей выборке определяются значения . На проверочной выборке отбираются лучшие модели.

3) входной вектор имеет размерность N .

Принцип свободы выбора (неокончательности промежуточного решения):

Для каждой пары строятся частичные описания (всего ) или линейного (4.11) или квадратичного (4.12) вида:

, , (4.11)

, . (4.12)

Определяем коэффициенты этих моделей по МНК, используя обучающую выборку. Т.е. находим .

Далее на проверочной выборке для каждой из этих моделей ищем оценку по формуле (4.13) и определяем F лучших моделей.

, (4.13)

где  - действительное значение выходное значение в k-той точке проверочной выборки;

а  - выходное значение в k-той точке проверочной выборки в соответствии с s-той моделью.



Рисунок 4.5

Выбранные подаются на второй ряд, где по формуле (4.14) ищем .

(4.14)

Оценка здесь такая же, как на первом ряде. Отбор лучших осуществляется опять так же, но .

Процесс конструирования рядов повторяется до тех, пока средний квадрат ошибки будет падать. Когда на слое m получим увеличение ошибки , то прекращаем.

Если частичные описания квадратичные и число рядов полинома S, то получаем, что степень полинома k=2S.

В отличие от обычных методов статистического анализа, при таком подходе можно получить достаточно сложную зависимость, даже имея короткую выборку.

Есть проблема: на первом ряде могут отсеяться некоторые переменные , которые оказывают влияние на выходные данные.

В связи с этим предложена такая модификация: на втором слое подавать и , т.е.: .

Это важно при большем уровне помех, чтобы обеспечить несмещенность.

Возникает два способа отбора лучших кандидатов частичных описаний передаваемых на определенном слое.

Критерий регулярности (точности) :

, (4.15)

(4.16)

Критерий несмещенности. Берем всю выборку, делим на две части R=+

Первый эксперимент: - обучающая выборка, - проверочная; определяем выходы модели , i=1..R. Второй эксперимент: - обучающая выборка, - проверочная; определяем выходы модели , i=1..R и сравниваем. Критерий несмещенности:

(4.17)

Чем меньше , тем более несмещенной является модель.

Такой критерий определяется для каждого частичного описания первого уровня и затем находится для уровня в целом

 (4.18)

для F лучших моделей. В ряде вариантов F=1. Такое же самое на втором слое .

И процесс селекции осуществляется до тех пор, пока этот критерий не перестанет уменьшаться, т.е. до достижения условия

. (4.19)

Страницы: 1, 2, 3, 4