Принятие оптимальных решений в условиях неопределенности - (реферат)
p>Применим данный критерий к нашим исходным данным, полагая ? =0. 5. Матрица значений W будет выглядеть следующим образом: Таблица 1. 4min u(xi, Rj)
max u(xi, Rj)
? min u(xi, Rj) +
? max u(xi, Rj)
5
50
250
15
4
70
230
15
3
120
210
165
2
150
300
225
Таким образом, в результате применения этого критерия получилось, что существуют два равнозначных варианта:
x1 = 5, x2 = 4 при одинаковых значениях W1 = W2 = 15.
1. 4. Учет активных условий
Как правило, решение практических задач, связанных с оценкой качества и надежности изделий лесного машиностроения, зависит не только от оперирующей стороны (допустим, конструктора), но и от действий других субъектов системы (например, технолога-лесозаготовителя). Каждая из сторон преследует собственные цели, не всегда совпадающие друг с другом. Неопределенность такого рода при принятии решений относят к классу поведенческих неопределенностей. Теоретической основой нахождения оптимального решения в условиях неопределенности и конфликтных ситуаций является теория игр. Игра - это математическая модель процесса функционирования конфликтующих элементов систем, в котором действия игроков происходят по определенным правилам, называемыхстратегиями. Ее широкому распространению в последнее время способствовало как развитие ЭВМ, так и создание аналитического аппарата, позволяющего находить аналитические решения для широкого класса задач. Основной постулат теории игр любой субъект системы по меньшей мере так же разумен, как и оперирующая сторона и делает все возможное, чтобы достигнуть своих целей. От реального конфликта игра (математическая модель конфликта) отличается тем, что она ведется по определенным правилам, которые устанавливают порядок и очередность действий субъектов системы, их информированность, порядок обмена информацией, формирование результата игры.
Существует много классов игр, различающихся по количеству игроков, числу ходов, характеру функций выигрыша и т. д. Выделим следующие основные классы игр: антагонистические (игры со строгим соперничеством) и неантогонистические. В первом случае цели игроков противоположны, во - втором - могут совпадать; стратегические и нестратегические (в первых субъект системы действует независимо от остальных, преследуя свои цели, во-вторых субъекты выбирают единую для всех стратегию);
парные игры и игры для N-лиц;
коалиционные и бескоалиционные;
кооперативные и некооперативные (в первых возможен обмен информацией о возможных стратегиях игроков);
конечные и бесконечные (в первых - конечное число стратегий). Наибольшее распространение в технических приложениях имеют парные стратегические бескоалиционные конечные некооперативные игры. Модель проблемной ситуации в этом случае имеет вид:
< U, V, W1, W2, R1, R2 >,
где
U - множество стратегий оперирующей стороны (конструктора); V - множество стратегий оппонирующей стороны (технолог и природа); W1 и W2 - показатели качества игроков;
R1 и R2 - системы предпочтения игроков.
Системы предпочтения игроков, в свою очередь, основываются на двух ведущих принципах рационального поведения: принципе наибольшего гарантированного результата и принципе равновесия.
Первый основан на том, что рациональным выбором одного из игроков должен считаться такой, при котором он рассчитывает на самую неблагоприятную для него реакцию со стороны другого игрока.
Второй принцип гласит, что рациональным выбором любого игрока считается такая стратегия u$ (или v$), для которой ситуация (u$, v$) обоюдовыгодна: любое отклонение от данной ситуации игры не является выгодным ни для одного из игроков.
Решается парная матричная игра (проектируемое изделие - меры и средства противодействия) с нулевой суммой (выигрыш одной стороны равен проигрышу другой) на основе рассмотрения платежной матрицы, которая представляет собой совокупность значений U и V (пара стратегий (u, v) U x V называется ситуацией игры) а также выигрышей Wij при парном сочетании всевозможных стратегий сторон. Решение парной матричной игры может быть в чистых стратегиях, когда для каждой из сторон может быть определена единственная оптимальная стратегия, отклонение от которой невыгодно обоим игрокам. Если выгодно использовать несколько стратегий с определенной частотой их чередования, то решение находится в смешанных стратегиях.
Основные особенности использования методов теории заключаются в следующем. В качестве возможных стратегий со стороны проектируемой системы рассматриваются возможные варианты ее строения, из которых следует выбрать наиболее рациональный. В качестве стратегий противника рассматриваются возможные варианты его противодействия, стратегии их применения.
Необходимо отметить, что при рассмотрении игр с использованием адаптивной системы число ее стратегий может быть существенно расширено благодаря реализации "гибких" конструкторских решений. Анализ игровых ситуаций в этом случае может быть направлен не только на выбор рационального варианта проектируемого изделия, но и на определение алгоритмов рационального применения системы в конфликтной ситуации.
Другая особенность применения методов теории игр заключается в выборе решений, получаемых на основе анализа конфликтной ситуации. В теории игр доказывается теорема о том, что оптимальная стратегия для каждого из игроков является оптимальной и для другого. Так, если решение игры получено в чистых стратегиях (имеется седловая точка), то выбор решения однозначен. Например, если для парной антагонистической игры 3x4 составить матрицу, где элементами uijбудут выигрыши (проигрыши) игроков, то седловая точка находится на пересечении максимина строк и минимакса столбцов
Стратегии
Стратегии B
Min
A
1
2
3
4
строк
1
8
2
9
5
2
2
6
5
7
18
5
3
7
3
-4
10
-4
max
столбцов
8
5
9
18
Оптимальными стратегиями будут для A - 2, для B - 2. Цена игры равна 5. Отметим, что в случае наличия седловой точки ни один из игроков не может улучшить стратегию и стратегии называютсячистыми. Отметим, что игра с чистыми стратегиями может существовать только при наличии полной информации о действиях противника.
Если же решение игры получено в смешанных стратегиях, то это эквивалентно созданию множества вариантов проектируемого компонента и использованию их с оптимальными частотам, соответствующими оптимальной смешанной стратегии. В случаях, когда не имеется полной информации о действиях противника, вводятся вероятности применения той или иной стратегии в виде векторов P= - для игрока A, где Ошибка! Неизвестный аргумент ключа. ; Q= - для игрока B, где Ошибка! Неизвестный аргумент ключа... При этом игрок A выбирает стратегию в соответствии с принципом максимина по выражению:
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа. ,
а игра B по принципу минимакса
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа...
Рассмотрим пример: пусть рассматривается принятие решения в игре 2x2, где игрок A знает вероятность стратегии 1, то есть p1, тогда очевидно вероятность стратегии 2 будет 1-p, соответственно стратегии игрока B будут q1 и 1-q1. Платежная матрица будет иметь вид:
B
q1
1-q1
A
p1
a11
a12
1-p1
a21
a22
На основании матрицы и приведенных выше выражений составляется таблица: Чистые стратегии игрока B
Ожидаемые выигрыши игрока A
1
(a11-a21)p1 + a21
2
(a12-a22)p1 + a22
Из таблицы видно, что ожидаемый выигрыш игрока A линейно зависит от вероятности p1(в данном случае задача может быть решена графоаналитически). Тогда смешанная стратегия игрока А будет иметь вид
,
то есть игроку A выгодно применять стратегию 1 с частотой (вероятностью) - p1, а стратегию 2 с частотой p2. Очевидно, что разработка нескольких вариантов изделия сопряжена с большими затратами, не всегда реализуема и затрудняет использование системы. Поэтому при получении решения в смешанных стратегиях рекомендуются следующие случаи принятия окончательного решения:
для дальнейшего проектирования выбирается тот вариант, который гарантирует максимальное качество (выбор по максиминной стратегии аналогично критерию Вальда);
выбирается тот вариант, который в смешанной стратегии должен использоваться с максимальной вероятностью;
реализуется несколько вариантов изделия с частотами, соответствующими смешанной стратегии (создание адаптивно-модульных конструкций).
Важное значение в задачах исследования качества адаптивных систем имеет не только решение игры, но и анализ платежной матрицы. Это особенно важно в тех случаях, когда решение в смешанных стратегиях не реализуется. Этот анализ может проводиться на основе: оценки возможных потерь эффективности в случае реализации чистой стратегии; определения дополнительных затрат на их компенсацию с помощью "гибких" конструкторских решений; оценки достоверности рассмотренных стратегий противодействия; определения возможности реализации компромиссных вариантов и т. д.
Для анализа конфликтной ситуации требуется на основе математической модели операции построить платежную матрицу [Wmn] =[Wij], где Wijхарактеризует качество изделия при выборе i-го варианта проектируемого изделия и при j-м варианте противодействия противника.
Решение может быть получено в чистых стратегиях, когда есть седловая точка. Условие седловой точки имеет вид
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа. , (1. 21)
где левая часть выражения - нижняя цена игры, правая - верхняя цена игры. Если условие (1. 8) не выполняется, то седловая точка отсутствует и требуется реализация смешанной стратегии.
Решение в смешанных стратегиях состоит в реализации чистых стратегий с различными вероятностями, задаваемыми распределением:
для проектируемого изделия в виде вектора-столбца
G = {gi}, где i = 1, 2 .... m; Ошибка! Неизвестный аргумент ключа. ; для противодействия в виде вектора-строки
F = {fj}, где j = 1, 2 .... n; Ошибка! Неизвестный аргумент ключа. , где
gi - вероятность выбора стратегии ui;
fj - вероятность выбора стратегии vj.
Платежную функцию запишем в следующем виде:
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа. (1. 22)
где индексом "т" обозначена процедура транспонирования.
Платежная функция W(G, F) всегда имеет седловую точку, т. е. всегда существует решение матричной игры. Это утверждение соответствует основной теореме теории матричных игр: каждая матричная игра с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение в чистых или смешанных стратегиях.
Последовательность решения игры следующая:
Анализируется платежная матрица на предмет исключения заведомо невыгодных и дублирующих стратегий.
Проверяется наличие седловой точки по условию (1. 21).
Если решение в чистых стратегиях отсутствует, то ищется решение в смешанных стратегиях с помощью методов линейного программирования или методом Монте-Карло.
Пример 1. 4. Обоснование стратегии эксплуатации
Предположим, что техническая система (агрегат) состоит из 5 блоков, отказ одного из которых ведет к отказу всей системы. Для предупреждения простоя системы можно провести перед началом ее работы проверку и замену неисправного блока. Если проверен не тот блок, то система простаивает, что приводит к убытку Ri (в таблице), который существенно превышает расходы на профилактику и замену (т. е. Rij = 0). Требуется выбрать оптимальную стратегию из условия минимума убытка. Пусть матрица расходов в зависимости от стратегий имеет вид: Отказ блока (стратегии природы)
Проверка
1
2
3
4
5
max строки
и
1
8
2
9
5
6
9
замена
2
6
5
17
18
7
18
(стра
3
7
3
14
10
8
14
тегии
4
4
6
16
9
19
19
эксплуа
5
12
4
15
8
10
15
тации)
min столбца
6
2
9
5
6
Ответ: Имеется седловая точка - необходимо во всех случаях проверять первый блок.
Пример 1. 5. Зимняя эксплуатация лесовозной дороги
Предположим, что при заготовке леса зимой стоит выбор делать или не делать предварительную расчистку дороги. При этом известны предполагаемые высоты снежного покрова и матрица доходов при применении той или иной стратегии. В данном случае можно реализовать себя как игрока A, а природу, как игроке B: B
20 мм
40 мм
60 мм
100 мм
A
не делать
2
2
3
-1
делать
4
3
2
6
Решение: Имеем игру 2x4. Эта игра не имеет седловой точки. Ожидаемые выигрыши игрока A, соответствующие чистым стратегиям B представлены в таблице Чистые стратегии B
Ожидаемые выигрыши A
1
2
3
4
-2x1 + 4
-x1 +3
x1 + 2
-7x1 + 6
Далее оптимальное решение - максимин находится графоаналитическим методом. Значение игры в данном случае равно 5/2.
Литература:
Андреев В. Н. , Герасимов Ю. Ю. Принятие оптимальных решений: Теория и применение в лесном деле. Йоэнсуу: Из-во ун-та Йоэнсуу, 1999. 200 с.
Беллман Р. , Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М. : Наука, 1969. 120 с.
Вентцель Е. С. Элементы динамического программирования. М. : Наука, 1964. 176 с. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М. : Наука, 1988.
Юдин Д. Б. Задачи и методы стохастического программирования. М. : Сов. радио, 1979. 392 с.
Davis L. S. , Johnson K. N. Forest management. New York: McGraw-Hill Book Company, 1987. 790 p.
Моисеев Н. Н. , Математические методы системного анализа М. Наука 1981 487 с. http: //www. petrsu. ru/Faculties/Forest/courses/decision/decis_a. htm
