Быстрый поиск

Реферат: Средства визуализации изображений в компьютерной томографии и цифровых рентгенографических системах

(поскольку параметр l фиксирован, его на данном этапе можно опустить).

Как уже отмечалось выше, интеграл является расходящимся, тем не менее, переходя к сферическим координатам по обычным правилам, получаем:

где b = b (j ,q ) = (cosq cosj , sinq cosj , sinj ), j Î [-p /2, p /2], q Î [0, p ].

Учитывая, что , а также то, что интегрирование по углам j и q соответствует интегрированию по единичной сфере, приходим к выражению

Интеграл по r есть преобразование Фурье от r ++. Используя таблицы для преобразования Фурье обобщенных функций [19], приходим к выражению (2.1.3).

Для действительных функций f(x) в формуле (2) нужна мнимая часть :

Используя обобщенные функции, сосредоточенные на поверхности [19], получаем следующее следствие:

Здесь S(x ) = {g Î S2½ (x , g ) = 0), v производная по направлению x . Подставляя в (2.1.2) функции и , зависящие от параметра l , получаем формулу обращения, пригодную для построения численных алгоритмов:

(2.1.4)

Здесь S(x ) v окружность, являющаяся пересечением единичной сферы и плоскости P(b ). Плоскость P(b ) проходит через начало координат ортогональна вектору b . Символ W (x ) означает интегрирование по окружности. Оператор L(b , D) означает дифференцирование функции в направлении вектора b :

при этом l , зависящее от b и x, остается фиксированным.

Как и выше, b = b (q , j ) = (cosq cosj , cosq sinj , sinq ), l = l (q , j ) = l (x, b ) такое, что скалярное произведение (x, b ) равно (b , g (l )) и (b , g /(l )).

В формуле (4) используются регулярные функции, и она пригодна для построения численных алгоритмов.

Замечание. А.С. Денисюком независимо и другим методом, без явного использования преобразования Фурье обобщенных функций, получены формулы обращения функции g+ в Rn . При n = 3 формулы А.С. Денисюка и формулы, получаемые изложенным способом из формулы Туя, совпадают.

Выше были получены формулы, позволяющие строить численные алгоритмы восстановления функции f(x) = f(x1, x2, x3) по ее лучевому преобразованию

Далее мы будем опускать символ f и использовать обозначение .

При фиксированном S функция является функцией в трехмерном пространстве, но в силу ee однородности существуют поверхности, такие что полностью определяется своими значениями на них (поверхности расположения приемников излучения).

Исходные данные в виде функции удобно использовать, если матрица приемников расположена на сфере. Однако в реальных ситуациях матрицу приемников обычно располагают на плоскости или поверхности цилиндра. В этих случаях удобно использовать несколько иной вид исходных данных.

Плоский детектор.

Мы будем предполагать, что для источника, находящегося в точке S = (s1, s2, s3), исходные данные регистрируются в плоскости P, определяемой уравнением xs1 + ys2 + zs3 = -½ S½ . Плоскость P, определяется следующими условиями:

плоскость P перпендикулярна лучу, соединяющему источник с началом координат;

плоскость P проходит через точку S= (s1, s2, s3.)

Расстояние D между плоскостью регистрации и источником равно удвоенному расстоянию от источника до начала координат. В плоскости регистрации будем использовать прямоугольную систему координат (p1, p2), начало которой находится в точке пересечения с лучем, соединяющим источник с точкой (0, 0, 0). Таким образом, если источник находится в точке S = (s1, s2, s3), то начало системы координат (p1, p2) в плоскости наблюдения находится в точке с трехмерными координатами -s1, -s2, -s3 =- S.

При реконструкции в конусе лучей наиболее распространенными примерами траекторий источника являются винтовая линия и совокупность двух окружностей лежащих в пересекающихся плоскостях.

Траектория в виде двух окружностей.

Рассмотрим окружность, лежащую в плоскости z =0.

Направление оси p2 в плоскости регистрации будет совпадать с направлением оси z.

Ось p1 системы координат возьмем на линии пересечения плоскости регистрации с плоскостью, содержащей окружность, по которой движется источник. Для окончательного определения системы координат необходимо выбрать одно из двух возможных направлений оси p1. Если s3 = 0, s1 = r cosl , s2 = r sinl (источник движется в плоскости z =0), то положительный единичный вектор на оси p1 выберем так, чтобы он совпадал с вектором (cos(l +p /2), sin(l +p /2), 0) = (-sinl , cosl , 0) = (-s2/½ S½ , s1/½ S½ , 0).

Точка, имеющая в плоскости регистрации координаты (p1, p2), имеет следующие пространственные координаты:

x = -p1 sinl - r cosl = -p1 s2 /½ S½ - s1 ,

y = p1 cos l - r sinl = p1 s1 /½ S½ - s2 , z = p2.

В случае плоского детектора, исходными данными являются интегралы по лучам, соединяющим точки (p1, p2) в плоскости регистрации с источником S.

Регистрируемая функция gr(p1, p2, l ) есть интеграл от искомой функции f(x) = f(x1, x2, x3) вдоль луча исходящего из точки S = (s1, s2, s3) = (rcosl , r sinl , 0) в направлении точки

P = (-p1 sin l - rcosl , p1 cosl - r sinl , p2 ) = (-p1 s2/½ S½ v s1, p1 s1/½ S½ v s2, p2).

Интегральная форма регистрируемой функции имеет вид:

При t = 0 луч проходит через точку S = (rcosl , rsinl , 0), при t = 1 v через точку P = (p1, p2) = (-p1 sin l - rcosl , p1 cosl - r sinl , p2).

Итак, мы имеем соотношение между функциями gr(p1, p2, l ) и :

Наряду с обозначением gr(p1, p2, l ), мы будем использовать обозначения gr(p1, p2, S(l )), gr(p1, p2, S) и gr(P, S) , здесь S(l ) точка на траектории источника, соответствующая параметру l , P = (p1, p2). Мы выразили функцию gr(p1, p2, l ) через функцию = g+ (x , l ).

В формуле обращения лучевого преобразования используется функция g+ (x , l ) = для того, чтобы использовать gr(p1, p2, l ), регистрируемую в случае плоского детектора, нужно выразить g+ (x , l ) используя gr(p1, p2, l ).

Для дальнейшего нам потребуются координаты (p1, p2) (в системе координат плоскости регистрации) точки пересечения плоскости регистрации данных с лучем (S +tx ) = (s1 + tx 1, s2 + tx 2, s3 + tx 3). Эти координаты имеют вид: