Быстрый поиск

Реферат: Матричный анализ

Теорема. Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности.

DF. Матрица называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью.

Из линейной алгебры следует, что матрица простая тогда и только тогда, когда .

Если матрица А простая, тогда существует n линейно независимых собственных векторов x1, x2, …,xn таких, что , для . Запишем это равенство в матричном виде:

, т.е. А – простая тогда и только тогда, когда и .

Замечание. Обратим внимание на то, что собственные значения А и А’ совпадают. Действительно, собственные значения для А’ это значения . Таким образом характеристические многочлены матриц совпадают. Размерность , тогда . Поэтому, если - собственное значение матрицы А, то и является собственным значением матрицы А’, т.е. существует , что (*) или . Транспонируем (*) и получим (транспонируем это равенство). В этом случае называют левым собственным вектором матрицы А. Соответственно, - называют правым собственным подпространством, - называют левым собственным подпространством.

Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица А простая, то существует n линейно независимых собственных векторов x1, x2, …, xn и существует n линейно независимых собственных векторов y1, y2,…,yn, где x1, x2, …, xn такие, что , (1); y1, y2,…,yn такие, что (2), .

Запишем равенство (1) в виде (3) Þ что, если А – простая, то существуют матрицы X и Y, что или (**).

DF. Множества векторов x1, x2, …, xn и y1, y2,…,yn удовлетворяющие условию , т.е. называются квазиортогональными.

Учитывая равенство (**) и определение делаем вывод: множества левых и правых собственных векторов простой матрицы А квазиортогональны и .

Очень важной для матриц является следующая теорема:

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. Если А – простая матрица порядка n над полем С и p(x) многочлен из кольца C[x], и x1, x2, …, xn и y1, y2,…,yn – множества правых и левых собственных векторов матрицы А, то , а сопутствующая матрица , где .

Следствие. Сопутствующие матрицы обладают следующими свойства:

Пример. Показать, что матрица простая. Найти сопутствующие матрицы для матрицы А и использовать их для А20, p(x)=x20.

Решение:

существуют 2 линейно независимые правые и левые системы собственных векторов.

Найдем правые собственные векторы:

Найдем левые собственные векторы:

Найдем сопутствующие матрицы:

5.Спектральное разложение функции f(A).

Спектральное разложение для f(A) имеет важное значение и очевидно тесно примыкает к спектральной теореме для простых матриц.

Пусть дана матрица и пусть , .

Теорема. Если , а функция f(x) определена на спектре матрицы А и - значение j-й производной от f(x) в собственном значении , где , , то существуют такие независимые от f(x) матрицы , что (1) , при чем коммутирует с матрицей А и образуют линейно независимую систему в пространстве

Доказательство: заметим, что и , где - базисные многочлены, принимающие одинаковые значения на спектре матрицы А, (3). Сравнивая (1) и (2) и учитывая (3) получим, что . Матрицы называются компонентами матрицы А или компонентными матрицами.

ЧТД.

Опишем следующие свойств компонентных матриц, которые в некоторой степени обобщают свойства сопровождающих матриц.

Теорема. Компонентные матрицы обладают следующими свойствами:

4. .

Замечание. Для того, чтобы найти компонентные матрицы для f(x) определенной на спектре матрицы А необходимо и достаточно знать базисные многочлены, входящие в интерполяционный многочлен, однако нахождение интерполяционного многочлена f(x) связано с некоторыми трудностями, а поэтому будем вычислять компонентные матрицы подбирая соответствующим образом системы функций.

Пример: Найти компоненты для матрицы .