Реферат: Матричный анализ
Построим:
.
Обратим внимание, что .
Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .
Построим базисные многочлены:
Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:
.
Возьмем , тогда интерполяционный многочлен
.
Случай № 2.
Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.
Случай № 3.
Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:
,
где m1+m2+…+ms=m, deg r(x)<m.
Составим дробно-рациональную функцию:
и разложим ее на простейшие дроби.
Обозначим: . Умножим (*) на и получим
где – некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при .
Если в (**) положить , получим:
Для того, чтобы найти ak3 надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент aki определяется однозначно.
После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x), т.е.
.
Пример: Найти f(A), если , где t – некоторый параметр,
.
Найдем минимальный многочлен матрицы А:
.
Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А
Умножим (*) на (х-3)
при х=3
Þ
Умножим (*) на (х-5)
.
Таким образом, - интерполяционный многочлен.
Пример 2.
Если , то доказать, что
Найдем минимальный многочлен матрицы А:
- характеристический многочлен.
d2(x)=1, тогда минимальный многочлен
.
Рассмотрим f(x)=sin x на спектре матрицы:
Þ функция является определенной на спектре.
Умножим (*) на
Þ .
Умножим (*) на :
.
Вычислим g, взяв производную (**):
. Полагая ,
, т.е. .
Итак, ,
,
,
.
ЧТД.
Пример 3.
Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид . Найти интерполяционный многочлен r(x) для функции f(x).
Решение: По условию f(x) определена на спектре матрицы А Þ f(1), f’(1), f(2), f ‘(2), f ‘’ (2) определены.
.
.
Используем метод неопределенных коэффициентов:
Если f(x)=ln x
f(1)=0 f’(1)=1
f(2)=ln 2 f’(2)=0.5 f’’(2)=-0.25
4. Простые матрицы.
Пусть матрица , так как С алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен , где , ki – алгебраическая кратность корня .
Обозначим множество векторов удовлетворяющих собственному значению - подпространство, , где r – ранг матрицы .
Теорема. Если квадратная матрица А имеет собственное значение , а матрица имеет , то имеет кратность .
DF. Размерность называется геометрической кратностью собственного значения .
В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом: