Быстрый поиск

Реферат: Матричный анализ

Построим:

Обратим внимание, что .

Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .

Построим базисные многочлены:

Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:

Возьмем , тогда интерполяционный многочлен

Случай № 2.

Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.

Случай № 3.

Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:

где m1+m2+…+ms=m, deg r(x)<m.

Составим дробно-рациональную функцию:

и разложим ее на простейшие дроби.

Обозначим: . Умножим (*) на и получим

где – некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при .

Если в (**) положить , получим:

Для того, чтобы найти ak3 надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент aki определяется однозначно.

После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x), т.е.

Пример: Найти f(A), если , где t – некоторый параметр,

Найдем минимальный многочлен матрицы А:

Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А

Умножим (*) на (х-3)

при х=3

Умножим (*) на (х-5)

Таким образом, - интерполяционный многочлен.

Пример 2.

Если , то доказать, что

Найдем минимальный многочлен матрицы А:

- характеристический многочлен.

d2(x)=1, тогда минимальный многочлен

Рассмотрим f(x)=sin x на спектре матрицы:

Þ функция является определенной на спектре.

Умножим (*) на

Þ .

Умножим (*) на :

Вычислим g, взяв производную (**):

. Полагая ,

, т.е. .

Итак, ,

ЧТД.

Пример 3.

Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид . Найти интерполяционный многочлен r(x) для функции f(x).