Курсовая работа: Задача о коммивояжере и ее обобщения
Также считаем, что для любой пары ребер их весовые характеристики будут различны. Это гарантирует уникальность построенного минимального остовного дерева. Для примера, если все ребра имеют единичный вес, то любое остовное дерево будет минимальным (с суммарным весом v-1, где v – количество вершин в графе).
Искомый остов строится постепенно. Алгоритм использует некоторый ациклический подграф А исходного графа G, который называется промежуточным остовным лесом. Изначально G состоит из n вершин-компонент, не соединенных друг с другом (n деревьев из одной вершины). На каждом шаге в A добавляется одно новое ребро. Граф A всегда является подграфом некоторого минимального остова. Очередное добавляемое ребро e=(u,v) выбирается так, чтобы не нарушить этого свойства: A ∪ {e} тоже должно быть подграфом минимального. Такое ребро называется безопасным.
По определению A, он должен оставаться подграфом некоторого минимального остова после любого числа итераций. Конечно, главный вопрос состоит в том, как искать безопасное ребро. Понятно, что такое ребро всегда существует, если A еще не является минимальным остовом (любое ребро остова, не входящее в A). Заметим, что так как A не может содержать циклов, то на каждом шаге ребром соединяются различные компоненты связности (изначально все вершины в отдельных компонентах, в конце A – одна компонента). Таким образом анализ графа выполняется (n-1) раз.
Далее приводится общее правило отыскания безопасных ребер. Для этого есть теорема, которая поможет находить безопасные ребра.
Теорема: Пусть G(V;E) – связный неориентированный граф и на множестве Е определена весовая функция w. Пусть А – некоторый подграф G, являющийся в то же время подграфом некоторого минимального остовного дерева T. Рассмотрим компоненту связности К из А. Рассмотрим множество E(K) ребер графа G, только один конец которых лежит в К. Тогда ребро минимального веса из E(K) будет безопасным.
В связи с приведенной теоремой введем следующее: безопасным ребром e относительно некоторой компоненты связности К из А назовем ребро с минимальным весом, ровно один конец которого лежит в К.
2.1 АЛГОРИТМ БОРУВКИ
На первом шаге A состоит из всех вершин G и пустого множества ребер. В начале очередной фазы алгоритма Борувки, для каждой компоненты связности промежуточного остовного леса выбирается лидер или корень – вершина, сопоставляемая каждой компоненте. Сделать это можно в простейшем случае с помощью обхода A в глубину: вершина, с которой начинается обход очередной компоненты, и будет ее лидером.
После того, как лидеры выбраны, для каждой компоненты связности находится безопасное для нее ребро, по существу методом грубой силы. Как только все такие ребра отобраны, они добавляются к A. Процесс продолжается до тех пор, пока в A присутствует больше одной компоненты связности.
2.2 АЛГОРИТМ КРУСКАЛА
Алгоритм Крускала объединяет вершины графа в несколько связных компонент, каждая из которых является деревом. На каждом шаге из всех ребер, соединяющих вершины из различных компонент связности, выбирается ребро с наименьшим весом. Необходимо проверить, что оно является безопасным. Безопасность ребра гарантируется ранее показанной теоремой о безопасных ребрах. Так как ребро является самым легким из всех ребер, выходящих из данной компоненты, оно будет безопасным.
Остается понять, как реализовать выбор безопасного ребра на каждом шаге. Для этого в алгоритме Крускала все ребра графа G перебираются по возрастанию веса. Для очередного ребра проверяется, не лежат ли концы ребра в разных компонентах связности, и если это так, ребро добавляется, и компоненты объединяются.
Удобно использовать для хранения компонент структуры данных для непересекающихся множеств, как, например, списки или, что лучше, лес непересекающихся множеств со сжатием путей и объединением по рангу (один из самых быстрых известных методов). Элементами множеств являются вершины графа, каждое множество содержит вершины одной связной компоненты.
2.3 АЛГОРИТМ ПРИМА
Как и алгоритм Крускала, алгоритм Прима следует общей схеме алгоритма построения минимального остовного дерева: на каждом шаге мы добавляем к строящемуся остову безопасное ребро. Алгоритм Прима относится к группе алгоритмов наращивания минимального остова: на каждом шаге существует не более одной нетривиальной (не состоящей из одной вершины) компоненты связности, и каждый к ней добавляется ребро наименьшего веса, соединяющее вершины компоненты с остальными вершинами. По теореме такое ребро является безопасным.
При реализации надо уметь на каждом шаге быстро выбирать безопасное ребро. Для этого удобно воспользоваться очередью с приоритетами (кучей). Алгоритм получает на вход граф G и его корень r – вершина, на которой будет наращиваться минимальный остов. Все вершины G, еще не попавшие в дерево, хранятся в очереди с приоритетом Ω. Приоритет вершины v определяется значением key[v], которое равно минимальному весу ребер, соединяющих v с вершинами минимального остова. Поле p[v] для вершин дерева указывает на родителя, а для вершин из очереди, указывает на остов дерева, в которою ведет ребро с весом key[v] (одно из таких ребер, если их несколько).
2.4 ВЫВОД
В завершение рассказа о жадных алгоритмах приведу пример. Рассмотрим небольшую «детскую» задачу. Допустим, что у нас есть монеты достоинством 25, 10, 5 копеек и 1 копейка и нужно вернуть сдачу 63 копейки. Почти не раздумывая, мы преобразуем эту величину в две монеты по 25 копеек, одну монету в 10 копеек и три монеты по одной копейке. Нам не только удалось быстро определить перечень монет нуясного достоинства, но и, по сути, мы составили самый короткий список монет требуемого достоинства.
Алгоритм, которым мы в этом случае воспользовались, заключался в выборе монеты самого большого достоинства (25 копеек), но не больще 63 копеек, добавлению ее в список сдачи и вычитанию ее стоимости из 63 (получается 38 копеек). Затем снова выбираем монету самого больщого достоинства, но не больще остатка (38 копеек): этой монетой опять оказывается монета в 25 копеек. Эту монету мы опять добавляем в список сдачи, вычитаем ее стоимость из остатка и т.д.
Этот метод внесения изменений называется «жадным» алгоритмом. На каждой отдельной стадии «жадный» алгоритм выбирает тот вариант, который является локально оптимальным в том или ином смысле. Обратите внимание, что алгоритм для определения сдачи обеспечивает в целом оптимальное рещение лищь вследствие особых свойств монет. Если бы у нас были монеты достоинством 1 копейка, 5 и 11 копеек и нужно было бы дать сдачу 15 копеек, то «жадный» алгоритм выбрал бы сначала монету достоинством 11 копеек, а затем четыре монеты по одной копейке, т.е. всего пять монет. Однако в данном случае можно было бы обойтись тремя монетами по 5 копеек.
И все приведенные выше алгоритмы являются «жадными».
Следует подчеркнуть, что не каждый «жадный» алгоритм позволяет получить оптимальный результат в целом. Как нередко бывает в жизни, «жадная стратегия» подчас обеспечивает лишь сиюминутную выгоду, в то время как в целом результат может оказаться неблагоприятным.
Существуют задачи, для которых ни один из известных «жадных» алгоритмов не позволяет получить оптимального решения; тем не менее имеются «жадные» алгоритмы, которые с большой вероятностью позволяют получать «хорошие» решения. Нередко вполне удовлетворительным можно считать «почти оптимальное» решение.
3. ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ
Генетический алгоритм — это алгоритм, который позволяет найти удовлетворительное решение к аналитически неразрешимым проблемам через последовательный подбор и комбинирование искомых параметров с использованием механизмов, напоминающих биологическую эволюцию. Является разновидностью эволюционных вычислений. Отличительной особенностью генетического алгоритма является акцент на использование оператора «кроссовера», который производит операцию, роль которой аналогична роли скрещивания в живой природе. «Отцом-основателем» генетических алгоритмов считается Джон Холланд, книга которого «Адаптация в естественных и искусственных системах» является основополагающим трудом в этой области исследований.
Задача кодируется таким образом, чтобы её решение могло быть представлено в виде вектора («хромосома»). Случайным образом создаётся некоторое количество начальных векторов («начальная популяция»). Они оцениваются с использованием «функции приспособленности», в результате чего каждому вектору присваивается определённое значение («приспособленность»), которое определяет вероятность выживания организма, представленного данным вектором. После этого с использованием полученных значений приспособленности выбираются вектора (селекция), допущенные к «скрещиванию». К этим векторам применяются «генетические операторы» (в большинстве случаев «скрещивание» - crossover и «мутация» - mutation), создавая таким образом следующее «поколение». Особи следующего поколения также оцениваются, затем производится селекция, применяются генетические операторы и т. Д. Так моделируется «эволюционный процесс», продолжающийся несколько жизненных циклов (поколений), пока не будет выполнен критерий останова алгоритма. Таким критерием может быть: нахождение глобального, либо субоптимального решения; исчерпание числа поколений, отпущенных на эволюцию; исчерпание времени, отпущенного на эволюцию. Генетические алгоритмы служат, главным образом, для поиска решений в очень больших, сложных пространствах поиска.
Таким образом, можно выделить следующие этапы генетического алгоритма:
создание начальной популяции;
вычисление функций полезности для особей популяции (оценивание);
