Курсовая работа: Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом
Курсовая работа: Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом
Курсовая работа по дисциплине «Численные методы оптимизации»
Выполнил: ст.гр.4408 Калинкин А.А.
Казанский Государственный Университет им. А.Н. Туполева.
г. Казань 2001г.
1. Постановка задачи
1.1. Физическая (техническая) постановка задачи
Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката:
400 тыс. л. алкилата;
250 тыс. л. крекинг-бензина;
350 тыс. л. бензина прямой перегонки;
250 тыс. л. изопентона;
В результате смешивания этих четырёх компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина:
Бензин А – 2 : 3 : 5 : 2 ;
Бензин В – 3 : 1 : 2 : 1 ;
Бензин С – 2 : 2 : 1 : 3 ;
Стоимость 1 тыс.л. указанных сортов бензина:
Бензин А – 120 руб.
Бензин Б – 100 руб.
Бензин С – 150 руб.
Необходимо определить план смешения компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость все продукции. При следующих условиях:
Бензина каждого сорта должно быть произведено не менее 300 тыс..л.
Неиспользованного крекинг бензина должно остаться не более 50 тыс.л.
Сводная таблица условий задачи:
| Компоненты, используемые для производства трёх видов бензина. | Сорта производимого бензина |
Объем ресурсов (тыс. л) |
||
| А | В | С | ||
| Алкилат |
|
|
|
400 |
| Крекинг-бензин |
|
|
|
250 |
| Бензин прямой перегонки |
|
|
|
300 |
| Изопентат |
|
|
|
250 |
| Цена бензина (рублей за 1 тыс.л.) | 120 | 100 | 150 | |
1.2. Математическая постановка задачи
Исходя из условий задачи, необходимо максимизировать следующую целевую функцию:
(1.2.1)
при ограничениях
(1.2.2)
,
где 
В этих выражениях:
-
объемы бензина А-го, В-го и С-го сорта соответственно.
Тогда
объёмная доля первой компоненты (алкилата)
в бензине А.
объёмная доля первой компоненты (алкилата)
в бензине В.
объёмная доля первой компоненты (алкилата)
в бензине С.
и т.д.
Целевая функция 
выражает
стоимость всей продукции в зависимости от объема производимого бензина каждого
сорта. Таким образом, для получения максимальной стоимости продукции необходимо
максимизировать целевую функцию 
(1.2.1) с
соблюдением всех условий задачи, которые накладывают ограничения (1.2.2) на 
.
2. Приведение задачи к канонической форме
Задача линейного программирования записана в канонической форме, если она формулируется следующим образом.
Требуется найти вектор 
,
доставляющий максимум линейной форме
(2.1)
при условиях
(2.2)
(2.3)
где 
Перепишем исходную задачу (1.2.1) - (1.2.2):
(2.4)
при ограничениях
(2.5)
,
где 
(2.6)
В канонической форме задачи линейного программирования необходимо, чтобы все компоненты искомого вектора Х были неотрицательными, а все остальные ограничения записывались в виде уравнений. Т.е. в задаче обязательно будут присутствовать условия вида (2.3) и 8 уравнений вида (2.2), обусловленных неравенствами (2.5), (2.6).
Число ограничений задачи, приводящих к уравнениям
(2.2) можно уменьшить, если перед приведением исходной задачи (2.4) - (2.6) к канонической
форме мы преобразуем неравенства (2.6) к виду (2.3). Для этого перенесем
свободные члены правых частей неравенств (2.6) в левые части. Таким образом, от
старых переменных 
перейдем к новым
переменным
, где 
:
,
.
Выразим теперь старые переменные через новые
,
(2.7)
и подставим их в линейную форму (2.4) и в неравенства (2.5), (2.6). Получим
, где 
.
Раскрывая скобки и учитывая, что
(2.8),
можем окончательно записать:
(2.9)
(2.10)
,
где 
(2.11)
Путем несложных преобразований задачу (1.2.1), (1.2.2) свели к задаче (2.9) - (2.11) с меньшим числом ограничений.
Для записи неравенств (2.10) в виде уравнений введем
неотрицательные дополнительные переменные 
,
и задача (2.9) - (2.11) запишется в следующей эквивалентной форме:
(2.12)
(2.13)
,
где 
