Быстрый поиск

Курсовая работа: Багатокритеріальна задача лінійного програмування

Розв’язати багатокритеріальну задачу лінійного програмування з отриманням компромісного розв’язку за допомогою теоретико-ігрового підходу.

Задача (варіант 1):

Z1= x1+2x2+x3 ® max

Z2= – x1 –2x2+x3+x4 ® min

Z3= –2x1 –x2+x3+x4 ® max

з обмеженнями

2x1 –x2+3x3+4x4 £ 10

x1+x2+x3 –x4 £ 5

x1+2x2 –2x3+4x4 £ 12

"x ³ 0

2. Теоретичні відомості

У цій роботі реалізовано вирішування таких задач лінійного програмування: розв’язування задач багатокритеріальної оптимізації, тобто пошук компромісного рішення для задач з кількома функціями мети.

Ця задача така:

Задано об’єкт управління, що має n входів і k виходів. Вхідні параметри складають вектор X = {xj}, . Кожен з вхідних параметрів може мати обмеження, що накладене на область його значень. В програмі підтримуються параметри без обмежень на значення, і з обмеженнями невід’ємності (з областю ). Також на комбінації вхідних значень можуть бути накладені обмеження як система лінійних рівнянь або нерівностей:

Вихідні сигнали об’єкта є лінійними комбінаціями вхідних сигналів. Для досягнення ефективності роботи об’єкта управління частину вихідних сигналів треба максимізувати, інші – мінімізувати, змінюючи вхідні сигнали і дотримуючись обмежень на ці сигнали (задоволення усіх нерівностей, рівнянь і обмежень області значень кожного з вхідних параметрів). Тобто вихідні сигнали є функціями мети від вхідних:

Як правило, для багатокритеріальної задачі не існує розв’язку, який би був найкращим (оптимальним) для усіх функцій мети одночасно. Проте можна підібрати такий розв’язок, який є компромісним для усіх функцій мети (в точці цього розв’язку кожна з функцій мети якнайменше відхиляється від свого оптимального значення в заданій системі умов (обмежень).

Тут реалізовано пошук компромісного розв’язку за допомогою теоретико-ігрового підходу, що був розроблений під керівництвом доцента ХАІ Яловкіна Б.Д. Цей підхід дозволяє знайти компромісний розв’язок з мінімальним сумарним відхиленням всіх виходів (значень функцій мети) від їхніх екстремальних значень за даної системи обмежень.

Йде пошук компромісного вектора значень змінних в такому вигляді:

тут – вектор, що оптимальний для i-го критерію (функції мети); li – вагові коефіцієнти.

Для отримання цього вектора виконуються такі кроки розв’язування:

1) Розв’язується k однокритеріальних задач ЛП за допомогою симплекс-методу (для кожної з функцій мети окремо, з тією самою системою обмежень, що задана для багатокритеріальної задачі). Так отримуємо k оптимальних векторів значень змінних (для кожної з цільових функцій – свій).

2) Підраховуються міри неоптимальності для всіх можливих підстановок кожного вектора значень змінних у кожну з функцій мети, за такою формулою:

де Cj – вектор коефіцієнтів j-ої функції мети;

X*i – вектор, що оптимальний для i-ої функції мети;

X*j – вектор, що оптимальний для j-ої функції мети;

Всі ці міри неоптимальності складають квадратну матрицю, рядки якої відповідають k оптимальним векторам X*i для кожної функції мети, а стовпці – k функціям мети Cj. Ця матриця розглядається як платіжна матриця матричної гри двох партнерів X* і Z, що визначена множиною стратегій X*={X*1, …, X*k} першого гравця, і Z={C1X, …, CkX} другого. Всі міри неоптимальності є недодатними, і є коефіцієнтами програшу першого гравця. На головній діагоналі вони рівні нулю (бо є мірами неоптимальності оптимального вектора для своєї ж функції).

3) Матриця мір неоптимальності заміняється еквівалентною їй матрицею додаванням до кожної міри неоптимальності , тобто найбільшого з абсолютних значень всіх мір. Якщо таке найбільше значення рівне нулю, то всі міри рівні нулю, і в такому випадку замість нього до усіх мір додається число 1. В результаті отримуємо матрицю з невід’ємними елементами. На головній діагоналі усі вони рівні максимальному значенню. Така заміна матриці не змінює рішення гри, змінює тільки її ціна. Тобто тепер гра має вигляд не гри програшів, а гри з пошуком максимального виграшу. Для пошуку оптимальної стратегії для першого гравця гра подається як пара взаємнодвоїстих однокритеріальних задач ЛП. Для першого гравця потрібні значення змінних двоїстої задачі :