RSS    

   Контрольная работа: Многокритериальные задачи. Паретовские решения

Контрольная работа: Многокритериальные задачи. Паретовские решения

Оглавление

Оглавление. 1

1. Постановка задачи. 2

2. Краткие теоретические сведения. 3

3. Реализация программного средства. 7

3.1 Проектирование. 7

3.2 Алгоритм поиска парето-оптимальных решений. 7

3.3 Листинг программного кода. 10

4. Пример работы программы.. 24

4.1 Многокритериальная задача. 24

4.2 Двухкритериальная задача. 25

3. Аналитическое задание критериев. 27

Выводы.. 28

Используемая литература. 29

Используемые программные средства. 29

1. Постановка задачи

математическая модель парето оптимальность

Необходимо разработать программное средство для поиска парето-оптимальных решений для следующих видов задач:

1)  многокритериальная задача

входные данные: количество критериев и решений; весовые значения, заданные напрямую, либо в параметрическом виде.

выходные данные: решения, входящие в множество Парето; номера парето-оптимальных решений из множества исходных решений

2)  двухкритериальная задача

входные данные: количество критериев и решений; весовые значения, заданные напрямую, либо в параметрическом виде.

выходные данные: решения, входящие в множество Парето; номера парето-оптимальных решений из множества исходных решений; графическое представление парето-оптимальных решений.


2. Краткие теоретические сведения

Пусть задан набор числовых функций , определенных на множестве возможных решений X. В зависимости от содержания задачи выбора эти функции именуют критериями оптимальности, критериями эффективности или целевыми функциями.

Указанные выше числовые функции образуют векторный критерий , который принимает значения в пространстве m-мерных векторов . Это пространство называют критериальным пространством или пространством оценок, а всякое значение  именуют векторной оценкой возможного решения x. Все возможные векторные оценки образуют множество возможных оценок (возможных или допустимых векторов)

Как правило, между множествами возможных решений X и соответствующим множеством векторов Y можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому возможному решению поставить в соответствие определенный возможный вектор, и обратно – каждому возможному вектору сопоставить определенное возможное решение. В таких случаях выбор во множестве решений с математической точки зрения равносилен выбору во множестве векторов и все определения и результаты можно формулировать как в терминах решений, так и в терминах векторов, причем при желании всегда можно без труда осуществить переход от одной формы изложения к другой.

Задачу выбора, которая включает множество допустимых решений X и векторный критерий f, обычно называют многокритериальной задачей или задачей многокритериальной оптимизации.

Необходимо отметить, что формирование математической модели принятия решений (т.е. построение множества X и векторного критерия f ) нередко представляет собой сложный процесс, в котором тесно взаимодействуют специалисты двух сторон. А именно, представители конкретной области знаний, к которой относится исследуемая проблема, и специалисты по принятию решений (математики). С одной стороны, следует учесть все важнейшие черты и детали реальной задачи, а с другой, – построенная модель не должна оказаться чрезмерно сложной с тем, чтобы для ее исследования и решения можно было успешно применить разработанный к настоящему времени соответствующий математический аппарат. Именно поэтому этап построения математической модели в значительной степени зависит от опыта, интуиции и искусства исследователей обеих сторон. Его невозможно отождествить с простым формальным применением уже известных, хорошо описанных алгоритмов.

Здесь следует еще добавить, что любая задача выбора (в том числе и многокритериальная) тесно связана с конкретным ЛПР(лицо, принимающее решение). Уже на стадии формирования математической модели при построении множества возможных решений и векторного критерия дело не обходится без советов, рекомендаций и указаний ЛПР, тем более что векторный критерий как раз и служит. Принятие решения при многих критериях для выражения целей ЛПР. При этом ясно, что построить модель в точности соответствующую всем реальным обстоятельствам невозможно. Модель всегда является упрощением действительности. Важно добиться, чтобы она содержала те черты и детали, которые в наибольшей степени влияют на окончательный выбор наилучшего решения.

Рассмотрим два произвольных возможных решения  и . Для них имеет место один и только один из следующих трех случаев:

1) справедливо соотношение  (ЛПР первое решение предпочитает второму),

2) справедливо соотношение  (ЛПР второе решение предпочитает первому),

3) не выполняется ни соотношение , ни соотношение  (ЛПР не может отдать предпочтение ни одному из указанных двух решений).

Заметим, что четвертый случай, когда оба участвующих здесь соотношения и  выполняются, невозможен благодаря асимметричности отношения предпочтения

В первом из указанных выше случаев, т.е. при выполнении соотношения , говорят, что решение  доминирует решение .

Если же реализуется третий случай, то говорят, что решения  и не сравнимы по отношению предпочтения.

Аксиома Парето.

Для всех пар допустимых решений , для которых имеет место неравенство , выполняется соотношение

Решение называется оптимальным по Парето (парето-оптимальным), если не существует такого возможного решения , для которого имеет место неравенство . Все парето-оптимальные решения образуют множество Парето, обозначаемое

Парето-оптимальное решение – это такое допустимое решение, которое не может быть улучшено (увеличено) ни по одному из имеющихся критериев без ухудшения (уменьшения) по какому-то хотя бы одному другому критерию.

Иначе говоря, предпочитая одному парето-оптимальному решению другое парето-оптимальное решение, ЛПР(лицо, принимающее решение) вынуждено идти на определенный компромисс, соглашаясь на некоторую потерю хотя бы по одному критерию (получая, разумеется, определенный выигрыш, по крайней мере, по какому-то другому критерию). По этой причине множество Парето нередко называют множеством компромиссов.

Понятие оптимальности по Парето играет важную роль в математической экономике. Именно в этой области часто вместо парето-оптимальности используют наименования эффективное решение и множество эффективных решений. Тем самым, парето-оптимальность и эффективность в математической экономике нередко оказываются синонимами.


3. Реализация программного средства.

Среда разработки: Visual Studio 2010

Язык программирования: C#

3.1 Проектирование

При проектировании программного средства будем использовать объектно-ориентированный подход.

Список классов с кратким описанием:

1)  MainView.cs – это главное окно, служит для ввода данных и запуска работы алгоритма поиска парето-оптимальных решений.

2)  SolutionsView.cs – это окно, которое содержит найденные парето-оптимальные решения, представленные в табличной форме

3)  GraphView.cs – окно, на котором будет отображаться графическое представление множества Парето для двухкритериальных задач

4)  Pareto.cs – это основной класс. Содержит 2 алгоритма поиска множества Парето.

5)  Graph.cs – класс, содержащий методы для построения графиков (в данном случае будем использовать стороннюю библиотеку ZedGgraph.dll)

6)  File.cs –методы для сохранения и загрузки данных в/из файл(а).

3.2 Алгоритм поиска парето-оптимальных решений

Шаг 1. Положить P(Y) =Y , i =1, j = 2 . Тем самым образуется так называемое текущее множество парето-оптимальных векторов, которое в начале работы алгоритма совпадает с множеством Y , а в конце составит искомое множество парето-оптимальных векторов. Алгоритм устроен таким образом, что искомое множество парето-оптимальных векторов получается из Y последовательным удалением заведомо неоптимальных векторов.

Страницы: 1, 2


Новости


Быстрый поиск

Группа вКонтакте: новости

Пока нет

Новости в Twitter и Facebook

                   

Новости

© 2010.