Дипломная работа: Криптография
1. Разложение больших чисел ан простые множители.
2. Вычисление логарифма в конечном поле.
3. Вычисление корней алгебраических уравнений.
Здесь же следует отметить, что алгоритмы криптосистемы с открытым ключом (СОК) можно использовать в трех назначениях.
1. Как самостоятельные средства защиты передаваемых и хранимых данных.
2. Как средства для распределения ключей. Алгоритмы СОК более трудоемки, чем традиционные криптосистемы. Поэтому часто на практике рационально с помощью СОК распределять ключи, объем которых как информации незначителен. А потом с помощью обычных алгоритмов осуществлять обмен большими информационными потоками.
3. Средства аутентификации пользователей. Об этом будет рассказано в главе «Электронная подпись».
Ниже рассматриваются наиболее распространенные системы с открытым ключом.
Алгоритм RSA
Несмотря на довольно большое число различных СОК, наиболее популярна - криптосистема RSA, разработанная в 1977 году и получившая название в честь ее создателей: Рона Ривеста[7], Ади Шамира и Леонарда Эйдельмана.
Они воспользовались тем фактом, что нахождение больших простых чисел в вычислительном отношении осуществляется легко, но разложение на множители произведения двух таких чисел практически невыполнимо. Доказано (теорема Рабина), что раскрытие шифра RSA эквивалентно такому разложению. Поэтому для любой длины ключа можно дать нижнюю оценку числа операций для раскрытия шифра, а с учетом производительности современных компьютеров оценить и необходимое на это время.
Возможность гарантированно оценить защищенность алгоритма RSA стала одной из причин популярности этой СОК на фоне десятков других схем. Поэтому алгоритм RSA используется в банковских компьютерных сетях, особенно для работы с удаленными клиентами (обслуживание кредитных карточек).
В настоящее время алгоритм RSA используется во многих стандартах, среди которых SSL, S-HHTP, S-MIME, S/WAN, STT и PCT.
Рассмотрим математические результаты, положенные в основу этого алгоритма.
Теорема 1. (Малая теорема Ферма.)
Если р - простое число, то
xp-1 = 1 (mod p) (1)
для любого х, простого относительно р, и
xp = х (mod p) (2)
для любого х.
Доказательство. Достаточно доказать справедливость уравнений (1) и (2) для хÎZp. Проведем доказательство методом индукции.
Очевидно, что уравнение (8.2.2) выполняется при х=0 и 1. Далее
xp=(x-1+1)p= å C(p,j)(x-1)j=(x-1)p+1 (mod p),
0£j£p
так как C(p,j)=0(mod p) при 0<j<p. С учетом этого неравенства и предложений метода доказательства по индукции теорема доказана.
Определение. Функцией Эйлера j(n) называется число положительных целых, меньших n и простых относительно n.
n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
j(n) | 1 | 2 | 2 | 3 | 2 | 6 | 4 | 6 | 4 | 10 | 4 |
Теорема 2. Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа), то
j(n)=(p-1)(q-1).
Теорема 3. Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа) и х - простое относительно р и q, то
xj(n) = 1 (mod n).
Следствие . Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа) и е простое относительно j(n), то отображение
Еe,n: x®xe (mod n)
является взаимно однозначным на Zn.
Очевиден и тот факт, что если е - простое относительно j(n), то существует целое d, такое, что
ed = 1 (mod j(n)) (3)
На этих математических фактах и основан популярный алгоритм RSA.
Пусть n=pq, где p и q - различные простые числа. Если e и d удовлетворяют уравнению (8.2.3), то отображения Еe,n и Еd,n являются инверсиями на Zn. Как Еe,n, так и Еd,n легко рассчитываются, когда известны e, d, p, q. Если известны e и n, но p и q неизвестны, то Еe,n представляет собой одностороннюю функцию; нахождение Еd,n по заданному n равносильно разложению n. Если p и q - достаточно большие простые, то разложение n практически не осуществимо. Это и заложено в основу системы шифрования RSA.
Пользователь i выбирает пару различных простых pi и qi и рассчитывает пару целых (ei, di), которые являются простыми относительно j(ni), где ni=pi qi . Справочная таблица содержит публичные ключи {(ei ,ni)}.
Предположим, что исходный текст
x =(x0, x1, ..., xn-1), xÎZn , 0 £ i < n,
сначала представлен по основанию ni :
N = c0+ci ni+....
Пользователь i зашифровывает текст при передаче его пользователю j, применяя к n отображение Edi,ni :
N ® Edi,ni n = n’.
Пользователь j производит дешифрование n’, применяя Eei,ni :
N’ ® Eei,ni n’= Eei,ni Edi,ni n = n .
Очевидно, для того чтобы найти инверсию Edi,ni по отношению к Eei,ni, требуется знание множителей n=pi qi. Время выполнения наилучших из известных алгоритмов разложения при n=10100 на сегодняшний день выходит за пределы современных технологических возможностей.
Рассмотрим небольшой пример, иллюстрирующий применение алгоритма RSA.
Пример Зашифруем сообщение “САВ”. Для простоты будем использовать маленькие числа (на практике применяются гораздо большие).
1. Выберем p=3 и q=11.
2. Определим n=3*11=33.
3. Найдем (p-1)(q-1)=20. Следовательно, в качестве d, взаимно простое с 20, например, d=3.
4. Выберем число е. В качестве такого числа может быть взято любое число, для которого удовлетворяется соотношение (е*3) (mod 20) = 1, например 7.
5. Представим шифруемое сообщение как последовательность целых чисел с помощью отображения: А®1, В®2, С®3. Тогда сообщение принимает вид (3,1,2). Зашифруем сообщение с помощью ключа {7,33}.
ШТ1 = (37) (mod 33) = 2187 (mod 33) = 9,
ШТ2 = (17) (mod 33) = 1 (mod 33) = 1,
ШТ3 = (27) (mod 33) = 128 (mod 33) = 29.
6. Расшифруем полученное зашифрованное сообщение (9,1,29) на основе закрытого ключа {3,33}:
ИТ1 = (93) (mod 33) = 729 (mod 33) = 3,
ИТ2= (13) (mod 33) = 1 (mod 33) = 1,
ИТ3 = (293) (mod 33) = 24389 (mod 33) = 2.
Итак, в реальных системах алгоритм RSA реализуется следующим образом: каждый пользователь выбирает два больших простых числа, и в соответствии с описанным выше алгоритмом выбирает два простых числа e и d. Как результат умножения первых двух чисел (p и q) устанавливается n.
{e,n} образует открытый ключ, а {d,n} - закрытый (хотя можно взять и наоборот).
Открытый ключ публикуется и доступен каждому, кто желает послать владельцу ключа сообщение, которое зашифровывается указанным алгоритмом. После шифрования, сообщение невозможно раскрыть с помощью открытого ключа. Владелец же закрытого ключа без труда может расшифровать принятое сообщение.
Практическая реализация RSA
В настоящее время алгоритм RSA активно реализуется как в виде самостоятельных криптографических продуктов[8], так и в качестве встроенных средств в популярных приложениях[9].
Важная проблема практической реализации - генерация больших простых чисел. Решение задачи «в лоб» - генерация случайного большого числа n (нечетного) и проверка его делимости на множители от 3 вплоть до n0.5. В случае неуспеха следует взять n+2 и так далее.[10]
В принципе в качестве p и q можно использовать «почти» простые числа, то есть числа для которых вероятность того, что они простые, стремится к 1. Но в случае, если использовано составное число, а не простое, криптостойкость RSA падает. Имеются неплохие алгоритмы, которые позволяют генерировать «почти» простые числа с уровнем доверия 2-100.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11