Вопросы и шпаргалка по теории вероятностей - (реферат)

p>Сумма значений соответствующего значения на вероятность случайных величин.

Модой (Mod) случайной величины Х называют ее наиболее вероятное значение. Для дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины.

    Mod=X3 Mod=X0
    Одно-модальное распределение
    Много модальное распределение
    В общем случае Mod и математическое ожидание не
    совпадают.

Медианой (Med) случайной величины Х называют такое значение, для которой вероятность того что P(XMed). У любого распределения Med может быть только один.

Med разделяет площадь под кривой на 2 равные части. В случае одно-модального и симметричного распределения mx=Mod=Med

    Моменты.

Чаще всего на практике применяются моменты двух видов начальное и центральное. Начальный момент. -го порядка дискретной случайной величины Х называется сумма вида:

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом порядка называется интеграл , очевидно, что математическое ожидание случайной величины есть первый начальный момент. Пользуясь знаком (оператором) М, начальный момент -го порядка можно представить как мат. ожидание -ой степени некоторой случайной величины.

Центрированной случайной величиной соответственной случайной величины Х называют отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания: Математическое ожидание центрированной случайной величины равно 0. Для дискретных случайных величин имеем:

Моменты центрированной случайной величины носят название Центральных моментов

Центральный момент порядка случайной величины Х называют математическим ожиданием -ой степени соответствующей центрированной случайной величины.

    Для дискретных случайных величин:
    Для непрерывных случайных величин:

Связь между центральными и начальными моментами различных порядков

Из всех моментов в качестве характеристики случайной величины чаще всего применяют первый момент (мат. ожидание) и второй центральный момент .

Второй центральный момент называют дисперсией случайной величины. Он имеет обозначение:

    Согласно определению
    Для дискретной случайной величины:
    Для непрерывной случайной величины:

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеянности (разбросанности) случайных величин Х около ее математического ожидания. Дисперсия означает рассеивание. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее использовать величину, my той, что и размерность случайной величины. С этой целью из дисперсии извлекают корень и получают величину, называемую - среднеквадратичным отклонением (СКО) случайной величины Х, при этом вводят обозначение:

Среднеквадратичное отклонение иногда называют "стандартом" случайной величины Х. Итак:

Математическое ожидание mx и Dx (или СКО ) наиболее частые употребляемые характеристики случайных величин, так как они определяют наиболее важные черты распределения, его положения и степень разбросанности.

    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 8
    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 9
    Равномерное распределение

Равномерная плотность распределения определяется следующим образом:

    Функция распределения определяется:
    Найдем числовые характеристики:
    (математическое ожидание)
    (медиана), Mod - не существует для данного распределения
    (дисперсия), (среднеквадратичное отклонение)
    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 10
    Закон распределения Пуасона

Рассмотрим дискретную случайную величину х, имеющую ряд распределения: X

    X0=0
    X1=1
    …
    Xm=m
    …
    P
    P0
    P1
    …
    Pm
    …

Говорят, что данное случайное распределение подчинено закону распределения Пуасона.

    (k=m-1)
    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 11
    Нормальный закон распределения (закон Гауса)

Главная особенность в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие распределения, при весьма часто встречающихся типичных условиях. Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

    Можно показать, что дисперсия
    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 12
    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 13
    Независимые случайные величины.
    Случайные величины x и y независимы если вероятность .
    Для зависимых величин x и y вероятность

Корреляционным моментом или Ковариацией случайных величин x и y называют величину:

Можно показать, что для независимых случайных величин cov(x, y)=0

    Коэффициент корреляций

Случайные величины x1, x2, x3, …, xn, называются не коррелированными, если

    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 14
    Теорема о числовых характеристиках

Если c не случайная (детерминированная) величина, то M[c]=c и D[c]=0

Если c не случайная - постоянная, а Х случайная (детерминированная), то:

Математическое ожидание суммы нескольких величин равно сумме их ожиданий.

Математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.

Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный их корреляционный момент.

    В общем случае:
    , где
    Для не корреляционных случайных величин:
    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 15

В широком смысле слова, закон больших чисел характеризует устойчивость средних. При очень большом числе случайных явлений - перестает быть случайным и может быть предсказан с большей степенью определенности. В узком смысле под законом больших чисел понимается ряд математических теорем, в которых устанавливаются факты приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным. Другая группа предельных теорем касается уже не предельных значений случайных величин, а предельных законов распределения. Эта группа теорем известна под названием "центральной предельной теоремы". Неравенство Чебышева.

    P( |X-mx| > E)     Теорема Чебышева

Теорема Чебышева дает одну из наиболее возможных форм закона больших чисел. Она устанавливает связь между средним арифметическим и ее математическим ожиданием наблюденных значений случайной величины. Yn=( X1 + X2 + …. + Xn) * 1/n = 1/n

    M[Yn] = i/n = 1/n * = 1/n * n * mx = mx
    Мат ожидание среднего не зависит от n

Теорема Чебышева устанавливает в точной количественной форме это свойство устойчивости среднего арифметического. Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности n т ее математическому ожиданию. В можематической форме это означает следующее:

    , где и сколь угодно положительные числа и .
    Теорема Бернулли

Теорема Бернулли: При неограниченном увеличении числа опытов n, частота события a сходится по вероятности к его вероятности P - (вероятность). m-произошло событие. n-число опытов.

    близко к 0
    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 16
    Центральная предельная теорема

Рассмотрим одну из наиболее общих форм центральной предельной теоремы: Пусть имеется взвешенная сумма независимых случайных непрерывных величин x1, x2, x3, …. , xn с произвольными законами распределения: , где постоянная, фиксированная числа.

Пусть i-ая случайная величина имеет и (i=1, 2, 3, …, n-1, n)

Согласно теореме о числовых характеристиках случайных величин, получим:

Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно общих условиях распределения суммарной Yn при стремиться к нормальному распределению

Опыт показывает, что когда или меньше, то закон распределения суммы может быть заменен нормальным. Вернуться к вопросам

    Ответ на билет 17
    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 18
    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 19

Доверительный интервал и доверительная вероятность используется в математической статистике точности и надежности полученной оценки a* неизвестного параметра a.

=0, 95 или 0, 98; 0, 99 - Назначим вероятность достаточно большую. Найдем значение интервала , при котором вероятность a*-a

    вероятность, что выйдет за пределы интервала:

Интервал, покрывающий a называется доверительным интервалом. Вероятность называется доверительной вероятностью.

    Оценка a* называется точечной оценкой.
    Оценка называется интервальной оценкой.
    Вернуться к вопросам
    Теорема о повторении опытов

Рассмотрим серию из n однородных, не зависимых опытов, проводимых в одинаковых условиях, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А. Вероятность появления F=P, не появления q=1-P. Предполагается, что вероятность р остается одной и той же в каждом опыте. Требуется найти вероятность Рm, n того, что А в этих n опытах появится ровно m раз (0
    , где

Если производится n неизвестных опытов в каждом из которых событие А появляется с вероятностью Р, то вероятность того что событие А появится ровно m раз выражается формулой:

    Вернуться к билетам.
    Задача 1
    Задача на схему случаев

В урне 3 белых и 4 черных шара. Какова вероятность изъятия из урны трех черных шаров?

    n - общее число возможных случаев изъятия 3 шаров из урны.
    m - число благоприятных случаев. (все три шара черные)
    ,
    Вернуться к билетам.
    Задача 2
    Задача на не совместные события.

Мишень состоит из 2-х зон, при одном выстреле вероятность попадания в зону 1=0, 2, в зону 2=0, 4 Найти вероятность промаха?

    - попадание.
    - промах.
    А=А1+А2; P(A)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2); P(A1A2)=0
    Вернуться к билетам.
    Задача 3
    Задача на умножение вероятностей.

В урне находится 3 белых и 2 черных шара. Вынимается по 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые?

    А1 - первый шар белый.
    А2 - второй шар белый.
    А=А1А2
    Вернуться к билетам.
    Задача 4
    Задача на умножение вероятностей.

В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Вынимают по очереди 2 шара, причем первый обратно возвращают. Какова вероятность что будут вынуты оба черных шара?

    Вернуться к билетам.
    Задача 5
    Задача на формулу полной вероятности.
    Имеется 3 урны.
    В одной 2 белых и 1 черный шар
    Во второй 1 белый и 1 черный шар.
    В третьей 3 белых и 2 черных шара.

Выбирается одна из урн и из нее 1 шар. Какова вероятность, что шар черный?

    А - черный шар. P(A)=?
    n=10 m=4
    Второй способ через формулу полной вероятности.
    H1; H2; H3;
    Вернуться к билетам.
    Задача 6
    Задача на теорему о повторении опытов.

Проводят 4 независимых опыта. Вероятность события в каждом из опыте равна 0, 3 Построить ряд и многогранник числа событий.

Введем Х-число появлений событий в результате проведенных опытов. X=X0=0

    X=X1=1
    X=X2=2
    X=X3=3
    X=X4=4
    - теорема о повторении опытов.
    X
    0
    1
    2
    3
    4
    P
    0, 0024
    0, 588
    P0, 4=1*1*0, 74=0, 0024
    P1, 4=*0, 31*0, 73=0, 588
    P2, 4=*0, 32*0, 72=
    P3, 4=*0, 33*0, 71=
    P4, 4=*0, 34*0, 70=
    Вернуться к билетам.
    Задача 7
    Задача на подсчет вероятностей
    Мишень состоит из 4 зон, производится один выстрел.

Найти вероятность промоха, если вероятность попадание в зоны известна и равна: P1=0, 1

    P2=0, 15
    P3=0, 20
    P4=0, 25
    A - попадание в мишень.
    - промах.
    Вернуться к билетам.
    Задача 8
    Задача на условную вероятность.

В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Вынимаются 2 шара. Найти вероятность, что оба шара белые.

    А1 - белый шар
    А2 - белый шар
    P(A1A2)=?
    C=A1A2
    Если первый шар возвращается в урну.
    P(A1)=P(A2)
    Вернуться к билетам.
    Задача 9
    a=? F(x)=? mx=?
    Вернуться к билетам.

Страницы: 1, 2