Быстрый поиск

Вопросы и шпаргалка по теории вероятностей - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

Вопросы по теории вероятностей

+Основные понятия теории вероятностей: события, вероятность события, частота события, случайная величина. +Сумма и произведение событий, теоремы сложения и умножения вероятностей. +Дискретные случайные величины. Ряд, многоугольник и функция распределения. +Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения. +Функция распределения; квантиль и а -процентная точка распределения. +Формула полной вероятности и теорема гипотез.

+Числовые характеристики случайных величин: моменты; дисперсия; и среднеквадратичное отклонение.

+Равномерное распределение, его числовые характеристики.
+Биномиальное распределение, распределение Пуассона.

+Нормальное (Гаусовское) распределение, стандартные нормальные распределения. Стандартная нормальная случайная величина.

+Независимые и зависимые случайные величины: ковариация, корреляция, коэффициент корреляции. +Теоремы о числовых характеристиках.

+Закон больших чисел, неравенства и теоремы Чебышева, Бернулли. +Центральная предельная теорема теории вероятностей.

Выборки, объем выборки.

Состоятельные, не смешенные и эффективные оценки; оценивание среднего значения и дисперсии. +Доверительные интервалы.

    +Теорема о повторении опытов.
    Задача_1
    Задача_2
    Задача_3
    Задача_4
    Задача_5
    Задача_6
    Задача_7
    Задача_8
    Задача_9
    Ответ на билет 1
    X – случайная величина.
    x – значение случайной величины.
    - непрерывная случайная величина
    Дискретная случайная величина – можно пересчитать.

Практически не возможное событие, вероятность которого близка к нулю 0 (0, 01; 0, 1). Практически достоверное событие, вероятность которого близка к единице 1 (0, 99; 0, 9888).

    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 2
    Сумма событий и произведение событий.
    А, В, …. ,G - события

Суммой событий называется некоторое событие S=A+B+…. +G=AB…. G, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Пример: Допустим идет стрельба по мишени

    А1 - попадание при первом выстреле
    А2 - попадание при втором выстреле
    S=A1+A2 (хотя бы одно попадание)

Произведением некоторых событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. S=ABC…G= Пример: А1 - промах при первом выстреле

    А2 - промах при втором выстреле
    А3 - промах при третьем выстреле
    (не одного попадания)
    Теорема сложения вероятностей.

Вероятность двух не совместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A) P(B)

    P(A+B)=P(A)+P(B)
    S=S1+S2+…+Sn
    P(S)=P(S1)+P(S2)+…+P(Sn)

Следствие: Если событие S1, S2, …, Sn образуют полную группу не совместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

Противоположными событиями называются два не совместных события, образующие полную группу . (пример - монетка имеющая орел и орешко)

Если два события A и B совместны, то вероятность совместного появления двух событий вычисляется по формуле: Условие независимости события А от события В: P(A|B)=P(A), то P(B|A)=P(B) Условие зависимости события А от события В: P(A|B)P(A), P(B|A) P(B) (Если А не зависит от В, то и В не зависит от А - условие не зависимости условий взаимно). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место: P(AB)=P(A)P(B|A), P(AB)=P(B)P(A|B)

Следствие: Вероятность произведения нескольких не зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An) Пример: на монете выпадет орел 2 раза

    S=AорAор S=P2(A)=(1/2)2=1/4
    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 3
    Закон распределения случайных величин

Ряд и многоугольник распределений. Случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение не известное заранее какое. Большие буквы - случайные величины. Малые буквы - их возможные решения. Рассмотрим случайную дискретную величину Х с возможными значениями x1, x2, …, xn В результате опыта :

Обозначим вероятность соответствующих событий через Pi

, так как рассматриваемые события образуют полную группу не совместных событий, то Х полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим распределение вероятности pi(i=1, 2…, n), то есть в точности указаны решения вероятности pi каждого события xi Этим будет установлен закон случайной величины xi.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими вероятностями. Простейшей формой записи законов распределения является таблица:

    X
    x1, x2, …, xn
    P
    p1, p2, …, pn

Многоугольник и ряд распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм законов распределения. (Для непрерывной случайной величины построить невозможно).

    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 4
    Плотность и функция распределения.

Функция распределения непрерывной случайной величины (Х), задана выражением:

Найти коэффициент а
Найти плотность распределения F(x)

Найти вероятность попадания случайной величины на участок P(0, 5
    F(4)=1 -> a4=1, a=0, 25
    - два способа решения.
    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 5
    Функция распределения

Для непрерывной случайной величины Х вместо вероятности равенства Х=х используют вероятность Р(Х

F(x) -интегральный закон распределения или интегральная функция распределения. F(x) -самая универсальная характеристика случайной величины, она существует для всех случайных величин как дискретных так и непрерывных. Основные свойства функции распределения.

Функция распределения F(x) есть не убывающая функция своего аргумента, т. е. при x2>x1 F(x2)>=F(x1) При функция распределения F(x)=0; F()=0

    При F(x)=1; F()=1
    Для дискретной случайной величины:
    Функция распределения любой дискретной случайной
    величины всегда есть разрывная ступенчатая функция,
    скачки которых происходят в точках соответствующих
    возможных значений случайных величин и равны
    вероятностям этих значений. Сумма всех скачков
    равна 1.
    F(x) непрерывной случайной величины
    Часто используют величины квантиль и -процентная точка
    Квантиль - решение уравнения
    - процентная точка определяется из уравнения
    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 6
    Формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий H1, H2, …, Hn, образующие полную группу не совместных событий. Эти события назовем гипотезами. Докажем, что в этом случае вероятность событий:

Вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе. применяем 2е теоремы:

-формула полной вероятности
Теорема гипотез (формула Байеса).

Пусть вероятность полной группы не совместных гипотез H1, H2, …, Hn известны и равны P(H1), P(H2), …, P(Hn). Событие А может появиться совместно с условной вероятностью P(A|Hi) (i=1, 2, …, n). Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез после проведения опытов в связи с появлением этого события. Иными словами, требуется найти условную вероятность P(Hi, A).

    Формула Байеса:
    Вернуться к вопросам
    Ответ на билет 7
    Числовые характеристики случайных величин.

Закон распределения случайных величин, представленный в той или иной форме, дает исчерпывающее описание случайной величины. Наиболее существенные особенности распределения в компактной форме описываются так называемыми числовыми характеристиками случайных величин. Они играют в теории вероятности огромную роль, с их помощью облегчается решение вероятностных задач. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся числовые характеристики.

Характеристики положения.
Мат. Ожидание Мода Медиана

Важнейшая характеристика математическое ожидание, которая показывает среднее значение случайной величины. Математическое ожидание величины Х обозначается М[X], или mx. Для дискретных случайных величин математическое ожидание:

Страницы: 1, 2