Быстрый поиск

Теория вероятности и математическая статистика - (диплом)

p>Вероятность сложного события B равна сумме вероятностей комбинаций вида EiQj, i=1, .... , m1 , т. к. исходы первого испытания не влияют на исходы второго испытания. Из факта: P(AB)=P(A)P(B/A); P(B/A)=P(B); AB=EiQj (надо доказать) A={EiQ1, EiQ2, .... , EiQj, .... , EiQm2}

B={E1Qj, E2Qj, .... , EiQj, .... , Em1Qj}

По определению произведения AB в него входят только те события, которые входят и в A, и в B. Из приведенных выше формул следует, что только событие EiQj входит и в A, и в B, то AB= EiQj. Следует:

Композиционное пространство имеет вид:

Общая структура независимых событий в композиционном пространстве, порожденном композицией испытаний:

т. е. в результате первого испытания произошли элементарные события: . В результате второго испытания события: .

Сложное событие B определяет все возможные комбинации исходов двух испытаний независимо друг от друга. В результате первого испытания произошли элементарные события: .

    В результате второго испытания события: .
    Тогда:
    , т. к. второе испытание не влияет на результаты первого.
    т. к. , (надо доказать)
    то

При решении практических задач, связанных с независимыми испытаниями обычно не требуется строить композиционных пространств элементарных событий, а использовать формально неверную запись: P(AЧB)=P(A)ЧP(B).

Композиция n испытаний.

Имеется n испытаний. Зададим для i-го испытания вероятностное пространство: i=1, .... , n

Композицией n испытанийназывается сложное испытание, состоящее в совместном проведении n испытаний. Задается n испытаний, вероятностное пространство каждого из которых имеет вид: i=1, .... , n

    Композиционное пространство имеет вид:
    j1=1, .... , m1; j2=1, .... , m2; jn=1, .... , mn;
    Композиция n независимых испытаний.

Испытания (n - испытаний) называются независимыми, если неоднозначность исхода каждого из испытаний определена не связанными между собой группами факторов. Событие A1: в результате проведения композиционного испытания в первом испытании произошло событие. Тогда

Событие An: в результате проведения композиционного испытания в первом испытании произошло событие. Тогда

    i=1, .... , n
    Рассмотрим событие:
    В силу определения независимости испытаний очевидно, что:
    .
    Следовательно: .

На практике не строят композиционных пространств, а записывают формально неправильную формулу: P(A1A2.... An)=P(A1)P(A2).... P(An).

Композиционное пространство имеет вид:
j1=1, .... , m1; j2=1, .... , m2; jn=1, .... , mn;

Общая структура независимых событий в композиционном пространстве имеет вид: 1-е событие

это событие, которое происходит в 1-м вероятностном пространстве 2-е событие

это событие, которое происходит во 2-м вероятностном пространстве n - событие

это событие, которое происходит в n-м вероятностном пространстве Рассмотрим два вероятностных пространства.

I
II

Очевидно, что неопределенность испытания до испытания в первом вероятностном пространстве выше, чем во втором. Действительно, до испытания в I нельзя ни одному из событий отдать предпочтения, а во II событие E3 происходит чаще.

Энтропия - мера неопределенности исхода испытания (до испытания).

Первым, кто функционально задал выражение для энтропии был Шеннон.

    ,
    Для вероятностного пространства:
    Энтропия задается выражением: . Если P1=0, то PiЧlogPi=0.
    Самим показать, что:

Если вероятностное пространство не имеет определенности, т. е. какое-то из Pi=1, а остальные равны 0, то энтропия равна нулю. Если элементарный исход равновероятен, т. е. , то энтропия принимает максимальное значение. 0ЈPiЈ1,

,

т. о. вероятности p1, p2, .... , ps обращаются в ноль, например pi, которая равна 1. Но log1=0. Остальные числа также обращаются в 0, т. к... Докажем, что энтропия системы с конечным числом состояний достигае максимума, когда все состояния равновероятны. Для этого рассмотрим энтропию системы как функцию вероятностей p1, p2, .... , ps и найдем условный экстремум этой функции, при условии, что . Пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа, будем искать экстремум функции: .

Дифференцируя по p1, p2, .... , ps и приравнивая производные нулю получим систему: i=1, .... , s

Откуда видно, что экстремум достигается при равных между собой p1. Т. к. , то p1= p2=, .... , = ps= 1/s.

Еденицей измерения энтропии является энтропия вероятностного пространства вида:

, которая называется 1 бит.

Неопределенность исхода испытания до испытания автоматически определяет информативность исхода испытания после испытания. Поэтому в битах также измеряется информативность исхода.

Рассмотрим два вероятностных пространства:

Проводим композицию двух испытаний. Композиционное пространство имеет вид: i=1, .... , s1 j=1, .... , s2

С точки зрения качественного анализа максимальная энтропия композиционного вероятностного пространства достигается тогда, когда испытания независимы. Найдем энтропию композиционного пространства для случая независимых испытаний.

Биномиальное распределение.

n испытаний называются системой испытаний Бернулли, если испытания независимы, в каждом из них происходит событие , либо с вероятностью наступления P(A) = p; Найдем вероятность того, что в результате проведенных n испытаний событие А произошло m раз:

Рассмотрим композицию n независимых испытаний и построим композиционное пространство элементарных событий.

    Общий вид элемента этого пространства следующий:
    где
    При этом вероятность наступления такого события равна:
    (умножение при независимых событиях)

Найдем вероятность наступления любого элементарного события из композиционного пространства:

Рассмотрим в композиционном вероятностном пространстве событие: в n испытаниях событие A произошло m раз.

Событие A состоит из - общее кол-во элементарных событий, в которое входит событие А. А произошло m раз, - n-m раз. Вероятность каждого из этих элементарных событий одинакова и равна:

Следовательно, на основании III аксиомы теории вероятности результат равняется:

    (сложение вероятностей)
    Случайная величина
    Пусть имеется вероятностное пространство вида .

Случайной величиной называется измеримая числовая скалярная функция , элементами которой являются элементарные события. Числовая скалярная функция - это функция, удовлетворяющая следующему условию: событие - алгебре и, следовательно, имеет вероятность наступления. Если произведено испытание, в результате которого произошло некоторое элементарное событие. В соответствии с функцией этому элементарному событию соответствует число, которое называется реализацией случайной величины x в данном испытании. В соответствии с определением случайной величины вводится числовая скалярная функция F(x), , определенная для каждого действительного x и по определению равная вероятности наступления события:

Эта функция называется функцией распределения случайной величины . Рассмотрим три события:

    где a    Свойства:
    Покажем, что из факта
    A2 ? ? -алгебре
    A1 ? ? -алгебре
    и равенства следует, что A3 ? ? .

По определению ? -алгебры A3 измерима, поэтому можно принять III аксиому теории вероятности:

F(x) - неубывающая функция
Если x т. к. , то преобразования верны.

Для всех технических приложений функцию распределения можно считать направленной слева.

В силу того, что функция распределения не убывает, она однозначно задает стчетно-аддитивную меру на поле, порожденном всеми полуинтервалами ненулевой длины.

По введенному полю построим борелевскую алгебру. Обозначим ее ? . Возьмем произвольное число B? ? не принадлежащее полю. Это точка или сегмент. Т. к. множество получено с помощью счетной суммы или счетного пересечения множеств принадлежащих? -алгебре, то и это множество принадлежит ? -алгебре и, следовательно, существует вероятность наступления события B. Следовательно, имеет место следующее эквивалентное определение измеримой функции.

Функция называется измеримой, если для любого BО? множество алгебре

где
множество, полученное следующим образом:

Функция g(x) называется борелевской функцией, если для любого B? ? множество

Борелевская функция - функция, определяемая на системе борелевских множеств. В функциональном анализе показано, что все известные аналитические функции являются борелевскими.

ТЕОРЕМА:

Пусть g(x) борелевская функция, - случайная величина, т. е. измеримая функция. Тогда функция

является измеримой и, следовательно, случайной величиной.

Берем произвольное B? ?. по определению борелевской функции. Рассмотрим множество

т. к. измеримая функция и , то A? ?-алгебре

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8