Быстрый поиск

Теория вероятности и математическая статистика - (диплом)

Дата добавления: март 2006г.

    Киевский политехнический институт
    Кафедра КСОИУ
    Конспект лекций
    по курсу:
    ”Теория вероятности и математическая статистика”
    Преподаватель: Студент II курса
    ФИВТ, гр. ИС-41
    проф. Павлов А. А. Андреев А. С.
    Киев - 1996 г.
    Введение.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.

Например: определить однозначно результат выпадения “орла” или “решки” в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число “орлов” и “решек”.

Испытаниемназывается реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.

    Например: испытание - подбрасывание монеты.
    Результатом испытания является событие. Событие бывает:
    Достоверное (всегда происходит в результате испытания);
    Невозможное (никогда не происходит);

Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания). Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани.

Конкретный результат испытания называется элементарным событием. В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называетсяпространством элементарных событий.

Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с “1” или “2”.

Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий. Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному. Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.

Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани. Введем следующие обозначения:

    А - событие;
    w - элементы пространства W;
    W - пространство элементарных событий;

U - пространство элементарных событий как достоверное событие; V - невозможное событие.

Иногда для удобства элементарные события будем обозначать Ei, Qi.

Операции над событиями.

1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, .... , m.

2. Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, .... , m.

3. Разностью событий A-B называется событие C, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.

4. Событие называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.

Формулы де Моргана: и

5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания. События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий. C=AЧB=V

Тут V - пустое множество.
Частость наступления события.

Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают 2m событий - множество всех подмножеств пространства элементарных событий W и невозможное событие V. Пример:

    W=(w1, w2, w3)
    A1=V
    A2=(? 1)
    A3=(? 2)
    A4=(? 3)
    A5=(? 1, ? 2)
    A6=(? 2, ? 3)
    A7=(? 1, ? 3)
    A8=(w1, w2, w3)

Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие AОF. Проводим серию испытаний в количестве n. n - это количество испытаний, в каждом из которых произошло событие A.

Частостью наступления события A в n испытаниях называется число

Свойства частости.
Частость достоверного события равна 1. ? n(U)=1.

Частость суммы попарно несовместных событий равна сумме частостей. Рассмотрим систему Ai, i=1, .... , k; события попарно несовместны, т. е. Событие

Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По определению сумы это означает, что в этом испытании произошло некоторое событие Ai. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие Aj (i№j) в этом испытании произойти не может. Следовательно: nA=nA1+nA2+.... +nAk

Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называетсявероятностью наступления события A. Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний. К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий. Теория вероятности как наука была построена на аксиоматике Колмогорова. Аксиоматика теории вероятности.

    Построение вероятностного пространства.
    Последовательно строим вероятностное пространство.
    Этап 1:

Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться одно событие из серии событийe. Все события из системы e называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A М e, B М e наблюдаемы, то наблюдаемы и события . Система событий F называется полем событий или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, BМ F выполняется:

Дополнения
(A+B) О F, (AЧB) О F

все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре. Таким образом, систему eмы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т. е. считаем, что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем или алгеброй.

Множество всех подмножеств конечного числа событий является наблюдаемой системой - алгеброй, полем.

Этап 2:

Каждому событию A О F ставим в соответствие число P(A), которое называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную меру. Вероятностная мера- числовая скалярная функция, аргументами которой являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера удовлетворяет системе из трех аксиом.

P(U)=1.

Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.

. Если , то .

Алгебра событий называется s- алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения.

Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все конечные интервалы вида aіx>b, b№a. Распространение этой алгебры на s- алгебру приводит к понятию борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида aіx>b, но и расширением полей вида a>xіb, aіxіb.

Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивнаямера - числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т. е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории вероятности.

. P(A) - число, принадлежащее сегменту [0, 1] и называющееся вероятностью наступления события A.

P(A) О [0, 1] P(U)=1.

Пусть имеется A1, A2, A3, ...., Ak - система попарно несовместных событий Если , то .

Теорема о продолжении меры.

Построим минимальную s - алгебру, которой принадлежит поле событий F (например, борелевская s - алгебра - это минимальная s - алгебра, которая содержит поле всех полуинтервалов ненулевой длины). Тогда доказывается, что счетно-аддитивная функция P(A) однозначно распространяется на все элементы минимальнойs - алгебры и при этом ни одна из аксиом не нарушается. Таким образом, продленное P(A) называется s - аддитивной мерой. s - алгебра содержит ненаблюдаемые события наряду с наблюдаемыми. Но в аксиоматической теории вероятности считается, что может произойти любое событие изs - алгебры.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8