Теория Вероятностей - (реферат)
p>По определению условной вероятности P(C|A1) (3. 1) и (3. 2) имеемP(C|A1)•P(A1)=Р(СА1) (16. 3)
Но событие СА1 происходит тогда и только тогда, когда происходит одно из двух несовместимых событий
С2=А2А3*А1 (16. 4)
С3=А3А2*А1 (16. 5)
То есть имеем
(СА1)=(А2А3*А1)(А3А2*А1) (16. 6)
Р(СА1)=Р(А2А3*А1)+Р(А3А2*А1)=0. 5•0. 7•0. 7+0. 3•0. 5•0. 7=
=0. 245+0. 105=0. 35 (16. 7)
Таким образом, согласно (16. 2) для искомой условной вероятности Р(A1|C) получим значение
Р(A1|C)=P(C|A1)•P(A1)/P(C)=0. 35/0. 455=0. 769 (16. 8)
Ответ: Вероятность того, что попал первый охотник при условии, что попало в вепря две пули равна 0. 769.
17. Решение задач о встрече методом Монте-Карло.
Рассматриваемые в этом разделе задачи являются обобщением задачи 8. 1. по встрече из раздела 8.
Задача 17. 1. :
Мария, Иван и Петр хотят встретиться в промежутке времени от 0 до 1часа пополудни. Каждый из них появится на месте встречи в свой случайный момент времени или соответственно или из отрезка . Каждый пришедший ждет своего товарища в течение 20 минут или до момента времени t=1, если от момента прихода до момента времени t=1 остается меньше 20 минут. Какова вероятность, что они все трое встретятся?
Решение:
Сделаем построение подобное построению из раздела 8. Только теперь построение будет в пространстве. Введем прямоугольную систему координат XYZ. Полагаемх=, у=, z=. Тогда точка с координатами х, у и z соответствует приходу Марии в момент времени х=, Ивана – в момент у= и Петра – в момент z=. Достоверному событию ? соответствует в пространстве XYZ куб Событию А, которое осуществляется, если Мария, Иван и Петр все встретятся соответствует тело. Это тело состоит из точек, лежащих в кубе и к тому же удовлетворяющих условиям
|x–y|? 1/3, |y–z|? 1/3, |x–z|? 1/3 (17. 1)
Поэтому
Р(А)= (17. 2)
Здесь есть объем куба , есть объем тела . Вычислить объем тела |x–y|? 1/3, |y–z|? 1/3, |x–z|? 1/3 (17. 3)
затруднительно. Вычислим его методом Монте-Карло по схеме Бернулли. При этом будем работать со случайными величинами, которые принимают значение равное единице, когда точка оказывается в теле , и принимают значение равное нулю, когда точка оказывается вне тела . Тогда согласно геометрическому определению вероятности и закону больших чисел (см. разделы 7 и 12) полагаем
P(A)= (17. 4)
Здесь n – число испытаний по бросанию точки в куб , m – число попаданий в тело . Равенство (17. 4) выполняется с большой точностью и с большой вероятностью, если число испытанийn достаточно велико.
Такие испытания, выполненные на компьютере при n=1000000 дали следующий результат Р(А)=0. 259 (17. 5)
Ответ: Вероятность Р(А) того, что Мария, Иван и Петр все встретятся равна 0. 259.
Задача 17. 2. :
Условия задачи 17. 2. повторяют условия задачи 17. 1. Но вопрос в задаче 17. 2. является таким.
Какова вероятность, что встретятся по крайней мере двое из трех?
Решение:
Назовем событием Всобытие, что встретятся по крайней мере двое из трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17. 1. Только в случае событияВ искомая вероятность Р(В) определяется формулой Р(B)=m/n (17. 6)
Здесь есть объем тела , которое определяется условиями
|x–y|? 1/3)( (17. 7)
где запятая заменяет логическую связку and.
Объем тела был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17. 6) означает число попаданий точки в тело . Испытания при n=1000000 дали следующий результат
Р(В)=0. 964 (17. 8)
Ответ: Вероятность Р(В), что встретились по крайней мере двое из трех равна 0. 964.
Задача 17. 3. :
Условия задачи 17. 3. повторяют условия задачи 17. 2. Но вопрос в задаче 17. 3. является таким.
Какова вероятность, что встретятся двое и только двое из трех?
Решение:
Назовем событием Ссобытие, что встретятся двое и только двое из трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17. 2. Только в случае событияС искомая вероятность Р(С) определяется формулой Р(С)=m/n (17. 9)
Здесь есть объем тела , которое определяется условиями
|x–y|? 1/3, |y–z|>1/3, |x-z|>1/3)
((17. 10)
где запятая заменяет логическую связку and.
Объем тела был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17. 9) означает число попаданий точки в тело . Испытания при n=1000000 дали следующий результат
Р(C)=0. 520 (17. 11)
Ответ: Вероятность Р(C), что встретились двое и только двое из трех равна 0. 520.
Задача 17. 4. :
Условия задачи 17. 4. повторяют условия задачи 17. 3. Но вопрос в задаче 17. 4. является таким.
Какова вероятность, что не встретились никто из трех?
Решение:
Назовем событием Dсобытие, что не встретится никто из трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17. 3. Только в случае событияD искомая вероятность Р(D) определяется формулой
Р(D)=m/n (17. 12)
Здесь есть объем тела , которое определяется условиями
|x-z|>1/3), ( (17. 13)
где запятая заменяет логическую связку and.
Объем тела был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17. 12) означает число попаданий точки в тело . Испытания при n=1000000 дали следующий результат
Р(D)=0. 037 (17. 14)
Ответ: Вероятность Р(D), что не встретятся никто из трех равна 0. 037.
Задача 17. 5. :
Условия задачи 17. 5. повторяют условия задачи 17. 3. Но вопрос в задаче 17. 5. является таким.
Какова вероятность, что встретится один из трех с каждым из двух других, но эти другие двое друг с другом не встретятся?
Решение:
Назовем событием Есобытие, что встретится один из трех с каждым из двух других, но эти другие двое друг с другом не встретятся. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17. 3. Только в случае событияЕ искомая вероятность Р(Е) определяется формулой
Р(Е)=m/n (17. 15)
Здесь есть объем тела , которое определяется условиями
|x–y|? 1/3, |х–z|? 1/3, |у-z|>1/3)
((17. 16)
где запятая заменяет логическую связку and.
Объем тела был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17. 15) означает число попаданий точки в тело . Испытания при n=1000000 дали следующий результат
Р(Е)=0. 182 (17. 17)
Ответ: Вероятность Р(Е), что встретится один из трех с каждым из двух других, но эти другие двое друг с другом не встретятся равна0. 182.
Проверка результатов
Р(А)+Р(С)+Р(Е)=Р(В) (17. 18)
0. 259+0. 520+0. 1820. 964 (17. 19)
Р(В)+Р(D)=1 (17. 20)
0. 964+0. 0371 (17. 21)
Программы, реализующие испытания по схеме Бернулли для задач 17. 1. -17. 5. , приведены в разделе 18.
18. Программы, реализующие испытания по схеме Бернулли для задач 17. 1. -17. 5.
1. CLS
INPUT "Введите количество испытаний n=", n
RANDOMIZE
FOR i = 1 TO n
x = RND
y = RND
z = RND
IF (ABS(x - y)
NEXT i
p = m / n
PRINT "p = ", p
2. CLS
INPUT "Введите количество испытаний n=", n
RANDOMIZE
FOR i = 1 TO n
x = RND
y = RND
z = RND
IF ((ABS(x - y)
NEXT i
p = m / n
PRINT "p=", p
3. CLS
INPUT "Введите количество испытаний n=", n
RANDOMIZE
FOR i = 1 TO n
x = RND
y = RND
z = RND
IF ((ABS(x - y) 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1 / 3)) OR ((ABS(x - z) 1 / 3) AND (ABS(x - y) > 1 / 3)) OR ((ABS(y - z) 1 / 3) AND (ABS(x - y) > 1 / 3)) THEN m = m + 1 ELSE m = m
NEXT i
p = m / n
PRINT "p=", p
4. CLS
INPUT "Введите количество испытаний n=", n
RANDOMIZE
FOR i = 1 TO n
x = RND
y = RND
z = RND
IF (ABS(x - y) > 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1 / 3) AND (ABS(z - y) > 1 / 3) THEN m = m + 1 ELSE m = m
NEXT i
p = m / n
PRINT "p=", p
5. CLSINPUT "Введите количество испытаний n=", n
RANDOMIZE
FOR i = 1 TO n
x = RND
y = RND
z = RND
IF ((ABS(x - y) 1 / 3)) OR ((ABS(x - z) 1 / 3)) OR ((ABS(y - z) > 1 / 3) AND (ABS(x - z)
NEXT i
p = m / n
PRINT "p=", p
