Теория Вероятностей - (реферат)
p>Здесь x(i)–значение случайной величины x, которое появляется в i-том испытании. Закон больших чисел обоснован теоретически при определенных аксиомах теории вероятностей и многократно подтвержден на практике. Пусть некоторая случайная величина х* является суммой случайных величин (10. 4)тогда математическое ожидание E(x*) равно сумме математических ожиданий Е(х) (10. 5)
11. Дисперсия случайной величины.
Дисперсией D(x) случайной величины х называют число, которое определяется по формуле D(x)=E(x–E(x)) (11. 1)
Поэтому дисперсия D(x) случайной величины х, которая может принимать значения с вероятностями Р, …Р определяется, как число i=k i=k j=k D(x)=? (x–E(x))•P=? (x–)•P (11. 2)
i=1 i=1 j=1
Например, в случае с игральной костью для дисперсии D(x) получаем следующее число
D(x)==(1/6)•((1-7/2)+(2-7/2)+(3-7/2)+(4-7/2)+(5-7/2)+(6-7/2))=(1/6)•(25/4+9/4+1/4+1/4+9/4+25/4)=(1/6)•(35/2)=35/12 (11. 3)
Пусть некоторая случайная величина х* является суммой (10. 4) случайных величин . Пусть эти случайные величины независимы. Это означает, что вероятность, с которой может осуществиться то или иное значение случайной величины не зависит от того, какое значение принимают другие случайные величины . Тогда доказывается, что дисперсия случайной величины х* является суммой дисперсии случайных величин (11. 4)
Важно заметить, что если случайные величины не являются независимыми, то дисперсия их суммы не обязательно равна сумме их дисперсий.
12. Закон больших чисел.
В этом разделе приведу аккуратную формулировку закона больших чисел, которая восходит к замечательному математику нашей страны П. Л. Чебышеву. Пусть имеем некоторую случайную величинух. Выберем какое-нибудь положительное число М. Отберем те значения случайной величины х, для которых выполняется условие
(12. 1)
Из выражения для дисперсии (11. 2) и из неравенства (12. 1) вытекает следующее неравенство
РРР (12. 2)
Здесь суммирование в (12. 2) выполняется по тем индексам j, для которых выполнено неравенство. Предположим теперь, что произведено n независимых испытаний. Пусть в i-том испытании осуществляется значение случайной величины . Пусть математические ожидания и дисперсии всех этих независимых случайных величин одинаковы. Тогда согласно материалу из разделов 10, 11 для суммы (12. 3)
этих случайных величин и из (12. 2) получаем следующее неравенство Р
·Р (12. 4)
Так как случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Кроме того, все дисперсии равны друг другу и все математические ожидания тоже равны друг другу . Поэтому из (12. 4) получаем неравенство
Р (12. 5)
Введем число е=M/n. Тогда из (12. 5) получаем неравенство
Р (12. 6)
Отсюда для противоположного события
(12. 7)
из (12. 6) получаем следующее неравенство П. Л. Чебышева
Р (12. 8)
Таким образом, из (12. 8) получается закон больших чисел П. Л. Чебышева:
Для любого сколь угодно малого положительного числа е и числа вN, будет справедливо неравенство Р (12. 9)
В самом деле, согласно (12. 8) достаточно выбрать в качестве числа N наименьшее из натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству , то есть (12. 10)
Это означает следующее. Какие бы числа и мы ни выбрали, если сделать количество n независимых испытаний больше, чем число N, то среднее значение случайной величины будет отличаться от математического ожидания меньше, чем нае с вероятностью большей, чем в. Иначе говоря, при неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее значение случайной величины стремится к математическому ожиданиюЕ с вероятностью, приближающейся к единице.
13. Испытания по схеме Бернулли.
Так называется следующая серия независимых испытаний. Пусть производится n испытаний. В i-том испытании может осуществиться случайное событие Ai с вероятностью Рi, i=1, …, n. Все события Аi независимы в совокупности. То есть вероятность события Аi не зависит от того, осуществляются или нет события Аj, j=1, …, n, ji. Рассмотрим здесь такой частный случай, когда все вероятности Рi равны друг другу и равны p, 0‹p‹1. То есть Р(Аi)=p, P(Ai*)=q, q=1-p, 0‹p‹1, 0‹q‹1, i=1, …, n (13. 1)
Например, пусть испытания состоят в том, что случайная точка в i-том испытании обязательно появляется в квадрате со стороной равной единице. СобытиеАi состоит в том, что точка оказывается в четверти круга, вписанного в квадрат и имеющего радиус равный единице (см. раздел7). Согласно (7. 2) имеем
Р(Ai)=p= (13. 2)
Справедливо следующее утверждение.
Теорема Бернулли: Пусть производится n испытаний по схеме Бернулли. Пусть события Аi осуществились в m испытаниях. Для любых чисел и найдется такое натуральное число N, что при числе испытаний n>N будет справедливо неравенство
P(|m/n–p| (13. 3)
В самом деле, свяжем с i-тым испытанием случайную величину . Пусть эта величина принимает значение равное единице, если осуществляется событиеАi, и принимает значение равное нулю, если событие Аi не осуществляется, т. е. осуществляется противоположное событие Аi*. Вычислим математическое ожидание Еi и дисперсию Di случайной величины . Имеем
pq=p (13. 4)
pppqq•p+p•q=p•q•(q+p)=p•q•1=p•q (13. 5)
Так как в нашем случае
(13. 6)
то из закона больших чисел (12. 9), (12. 10) получаем неравенство (13. 3), если только (13. 7)
Это и доказывает теорему Бернулли.
Например, если мы хотим проверить теорему Бернулли на примере вычисления числа р с точностью до с вероятностью большей, чем , то нам надо сделать испытания по схеме Бернулли в соответствии с разделом 7, т. е. получить согласно текущему разделу неравенство
P(|m/n–р/4|0. 99 (13. 8)
Для этого согласно (13. 7) достаточно выбрать число
(13. 9)
с большим запасом.
Такое испытание было сделано на компьютере по программе, приведенной в следующем разделе. Получилось
4•m/n=3. 1424 (13. 10)
Мы знаем, что число р=3. 1415925626…. То есть действительно получилось число с точностью по крайней мере до 0. 01.
14. Программа вычисления числа р по схеме Бернулли.
CLS
INPUT "Введите n=", n
RANDOMIZE
FOR i = 1 TO n
x = RND
y = RND
IF (x * x + y * y) < 1 THEN m = m + 1 ELSE m = m
NEXT i
pi = 4 * m / n
PRINT "pi = ", pi
15. Метод Монте-Карло.
Испытания по схеме Бернулли составляют основу вычислительного метода, который предложил Фон-Нейман для расчета сложных процессов. Например, для расчетов при создании атомной бомбы. Этот метод он назвал методом Монте-Карло в честь города, в котором идет игра в рулетку. Суть этого метода состоит в том, что подбираются такие испытания по схеме Бернулли, в которых вероятности событийАi и определяют интересующую вычислителя величину. Простейший пример вычисления по методу Монте-Карло и приведен в разделах 13, 14 для числа р. Особенно удобно вычислять методом Монте-Карло площади и объемы сложных фигур и тел.
16. Стрельба по вепрю.
Задача 16. 1. :
Три охотника стреляют по вепрю. Известно, что первый охотник попадает в цель с вероятностью0. 7. Второй – с вероятностью 0. 5. Третий – с вероятностью 0. 3. Результат стрельбы каждого из них не зависит от результатов стрельбы других. Все три охотника дали один залп.
Какова вероятность, что в вепря попали 2 пули?
Решение:
Назовем попадание первого охотника событием А1, попадание второго – А2, попадание третьего – А3. Для того, чтобы попали две пули необходимо и достаточно, чтобы осуществилось одно и только одно из следующих трех несовместных событий:
В1-первый попал, второй попал, третий промазал, В1=А1А2А3*
В2-первый попал, второй промазал, третий попал, В2=А1А2*А3
В3-первый промазал, второй попал, третий попал, В3=А1*А2А3
Так как события попадания для разных стрелков независимы, то вероятности попадания равны произведению вероятностей. Поэтому
Р(В1)=Р(А1)•Р(А2)•Р(А3*)=0. 7•0. 5•0. 7=0. 245
Р(В2)=Р(А1)•Р(А2*)•Р(А3)=0. 7•0. 5•0. 3=0. 105
Р(В3)=Р(А1*)•Р(А2)•Р(А3)=0. 3•0. 5•0. 7=0. 105
Интересующее нас событие С=В1В2В3. Так как события В1, В2 и В3 несовместны, то вероятность объединения равна сумме вероятностей событий Вi, i=1, 2, 3
Р(С)=Р(В1)+Р(В2)+Р(В3)=0. 245+0. 105+0. 105=0. 455 (16. 1)
Ответ: Вероятность, что попали 2 пули равна 0. 455.
Задача 16. 2. :
Те же охотники дали залп по другому вепрю. Известно, что попали 2 пули. Какова вероятность, что попал первый охотник?
Решение:
Интересующая нас вероятность есть условная вероятность Р(А1|С) события А1 при условии, что произошло событие С. По формуле Бейеса имеем Р(А1|C)=P(C|A1)•P(A1)/P(C) (16. 2)
