Синтез и анализ пространственных конструкций сложной формы - (диплом)
p>2. Производные аппроксимируем формулами численного дифференцирования третьего порядка точности (применение интерполяционного полинома Лагранжа [ 3 ]) и, отбрасывая остаточные члены, полагаем :(1. 4)
3. В некоторых случаях бывают известны значения на концах отрезка [a, b], т. е. величины . Тогда требования приводят к краевым условиям : (1. 5)
Краевые условия (1. 3) - (1. 5) можно комбинировать, т. е. В левом и правом крайних узлах выбирать их независимо. Система (1. 2) при всех рассмотренных краевых условиях имеет единственное решение [ 4 ], для нахождения которого могут быть применены методы прогонки и итераций. Решив систему (1. 2) при выбранных краевых условиях, находим наклоны mi, i= 0, 1, ...., N, во всех узлах. Затем по формуле (1. 1) задаем сплайн на каждом частичном отрезке [xi-1, xi], i= 0, 1, ......, N-1. Построенный данным способом сплайн S3(x) имеет дефект не больше единицы, так как он обладает на отрезке [a, b] непрерывной второй производной.
Если рассмотреть кубический сплайн с переменными шагами, тогда на отрезке [xj-1, xj] он имеет следующее выражение [ 4 ] : (1. 1. a)
взяв от которого две производные получим :
Отсюда находим
и
Из требований непрерывности второй производной в точках получим систему линейных алгебраических уравнений относительно наклонов mj следующего вида :
(1. 2. a)
Краевые условия представлены в следующем виде :
а) Если известны , то задаем
(1. 3. а)
б) Производные аппроксимируем формулами численного дифференцирования третьего порядка точности (применение интерполяционного полинома Лагранжа [ 3 ] ) и, отбрасывая остаточные члены, полагаем :
(1. 4. a)
где
в) В некоторых случаях бывают известны значения на концах отрезка [a, b], т. е. величины . Тогда требования приводят к краевым условиям : (1. 5. а)
Как видно (1. 1) и (1. 1. a) похожи, а (1. 2) следует из (1. 2. a) при hj = hj-1, т. е. случай с переменным шагом более общий, он и был положен в основу программы. Так как используется случай построения сплайна по трем точкам то краевые условия (1. 4) и (1. 4. a) выглядят следующим образом : ()
()
где
1. 2. 2. Дискретизация оболочковых конструкций
Процедуру дискретизации оболочковых конструкций рассмотрим на примере построения оболочки в основании которой лежит прямоугольная рама, и высотой в середине конструкции.
Задано : координаты опорных точек и высота в середине конструкции : Т1= (x1, y1, z1);
Т2= (x2, y2, z2);
Т3= (x3, y3, z3);
Т4= (x4, y4, z4);
Т5= (x5, y5, z5).
Задаемся граничными условиями по контуру основания, которые задают форму оболочки в местах прилегания к основанию и вводим желаемую степень дискретизации.
Построение сетки узлов конечно-элементной модели (КЭМ) с помощью сплайн-интерполяции начинаем с построения кривой К0 по 3 точкам : опорной точки Т5и 2 точкам на середине ребер основания, параллельных оси 0X. Задаемся числом участков по оси 0X и 0Y. Вычислив координаты границ участков и координаты точек на полученной кривой К0, строим с помощью сплайн-интерполяции семейство кривых К1, К2, .... , КN. Аналогично строим систему кривых К11, К12, .... , К1N, ортогональных к ранее построенным (рис. 2). В результате получаем сетку с пронумерованными узлами (рис. 3), которую “зашиваем” плоскими треугольными конечными элементами. Затем формируем файлы координат узлов и список конечных элементов (КЭ).
Z
T5 КN
КN-1
T3 T4
X
К1N Кi
T1 T2 К2
Y К12 К0 К1N-1 К1 К1N
рис. 2.
Z
21 25
11 20 X
6 15
1 10
Y 2 3 4 5
рис. 3.
1. 2. 3. Дискретизация объемных конструкций
Процедуру дискретизации объемных конструкций рассмотрим на примере массива, ограниченного двумя криволинейными поверхностями и 4 плоскостями. Задано : координаты опорных точек и высота каждой поверхности по отношению к своему основанию :
T11= (x1, y1, z1); T21= (x1, y1, z1);
T12= (x2, y2, z2); Т22= (x2, y2, z2);
T13= (x3, y3, z3); Т23= (x3, y3, z3);
T14= (x4, y4, z4); Т24= (x4, y4, z4);
T15= (x5, y5, z5). Т25= (x5, y5, z5).
Задаемся граничными условиями по контурам оснований, которые определяют форму поверхностей в местах прилегания к основаниям, и вводим желаемую степень дискретизации.
Далее каждую из поверхностей разбиваем как и в пункте 1. 2. 2. Так как в условии вводится одна степень дискретизации для обеих поверхностей, то разбиение на конечные элементы не представляет большого труда. Каждому узлу на одной поверхности ставится в соответствие узел на другой (рис. 4) они соединены штриховыми линиями. Таким образом получаем семейство шестигранников, которые и разбиваем на конечные элементы - тетраэдры (рис. 5, 6). В результате мы получаем файлы с координатами узлов и список конечных элементов, которые составляют основу исходных данных для расчета по программам, реализующим МКЭ.
Z
T15
T13 T14
X
T11 T12
Y T25
T23 T24
T21 T22
рис. 4.
7 8
3 4
5 6
1 2
4
a.
6
1 2
рис. 5.
b.
3 4
6
1
c. 8
3 4
d. 6
7 8
3
e. 7 6
5 6
1
d. 7
3
6
1 рис. 6.
1. 3. Алгоритм дискретизации изменяемой поверхности
Процедуру дискретизации изменяемой поверхности рассмотрим на примере оболочки, в основании которой лежит прямоугольная рама, высотой в середине конструкции и номера узла, координата которого меняется.
Задано : координаты опорных точек и высота в середине конструкции : Т1= (x1, y1, z1); Т2= (x2, y2, z2); Т3= (x3, y3, z3); Т4= (x4, y4, z4); Т5= (x5, y5, z5).
Задаемся граничными условиями по контуру основания, которые задают форму оболочки в местах прилегания к основанию и вводим желаемую степень дискретизации.
Далее действуя, как и в пункте 1. 2. 2. разбиваем поверхность и получаем сетку узлов и, введя номер изменяемого узла, его новые координаты и степень дискретизации, проводим сплайн через три точки : измененную, и ближайшие точки пересечения кривой Кi с кривыми К1 и К3. И далее с учетом дополнительно введенной степени дискретизации разбиваем на конечные элементы пространство между Кi-1 и Кi+1, а также между К1 и К3. Перенумерация узлов проводится с учетом нового условия. На рисунке 7 кружком выделен узел, координата которого была изменена. Пунктирными линиями показаны сплайны, которые были построены дополнительно.
Z
X
К3
Y К1 Кi-1 Кi Кi+1
рис. 7.
2. Алгоритмы анализа напряженно-деформированных состояний конечно-элементных моделей пространственных конструкций
2. 1. Оценка прочности и жесткости оболочковых конструкций по результатам анализа МКЭ После расчета МКЭ проводится анализ обширных массивов полученных результатов. A. Пользователю предлагается ввести допустимые перемещения относительно оси 0X [X], оси 0Y [Y], оси OZ [Z] (в миллиметрах); допустимую угловую деформацию относительно оси 0X [Ux], относительно оси 0Y[Uy], относительно оси 0Z [Uz] (в ). Из файла результатов считываются перемещения узлов X, Y, Z, Ux, Uy, Uz. Вычисляем “запас” жесткости для каждого узла : (2. 1)
и выводит в файл узлы с недопустимой жесткостью, со всеми числовыми значениями. B. Далее вводится допустимое напряжение [s] (в т/м2).
Из файла результатов считываются напряжения в каждом конечном элементе Nx, Ny, Txy. (2. 2)
где
.
Выводим КЭ с недостаточной прочностью.
2. 2. Оценка прочности и жесткости объемных конструкций
После обработки данных методом конечных элементов следует провести обработку результатов расчетов, систематизировать их.
A. Пользователю предлагается ввести допустимые перемещения относительно оси 0X [X], оси 0Y [Y], оси OZ [Z] (в миллиметрах). Из файла результатов считываются перемещения узлов X, Y, Z. Вычисляем “запас” жесткости для каждого узла : (2. 3)
и выводит в файл узлы с недопустимой жесткостью, со всеми числовыми значениями. B. Далее вводится допустимое напряжение [s] (в т/м2).
Из файла результатов считываются напряжения в каждом конечном элементе Nx, Ny, Txy.
где
.
Выводим КЭ с недостаточной прочностью.
3. Программа реализации синтеза и анализа конечно-элементных моделей пространственных конструкций
Программа Sintankem состоит из 8 модулей :
1. Obolochca( ) - этот модуль считывая из файла с расширением “dat” исходную информацию о размерности модели, количестве опорных точек, количестве исследуемых поверхностей и степени дискретизации производит их обработку. Если необходимо произвести дискретизацию поверхности с особенностью то продолжается ввод из файла данных номера точки, ее координаты и дополнительную степень дискретизации, т. е. выполнение пунктов 1. 2. 1 - 1. 2. 3. В результате мы получаем файлы с координатами узлов и список конечных элементов, которые составляют основу исходных данных для расчета по программам, реализующим МКЭ. 2. Spline( ) - этот модуль составляет систему линейных алгебраических наклонов относительно наклонов сплайна miпо формулам 1. 2, 1. 2. а, с учетом краевых условий 1. 3, 1. 5, 1. 3. а, 1. 5. а и 1. 4, 1. 4. а или, .
3. Metodgauss ( ) - реализует метод Гаусса.
4. SS3( ) - реализует формулу 1. 1, 1. 2.
5. Rez( ) - формирует файл результатов.
6. AnalizPeremNapraj( ) - оценка прочности и жесткости оболочковых и объемных конструкций по результатам анализа МКЭ.
7. Podgotovka_grafici( ) - проводит считывание файлов данных и переводит их к плоской задаче.
8. Grafici( ) - вывод графиков на экран.
Листинги программы смотри в приложении 1.
На рис. 8 представлена структура программы Sintankem.
1 2 3
Есть да
изменение
поверхности
нет
рис. 8.
4. Пример расчета оболочковой конструкции
На рисунке 9 приведена КЭМ конструкции, на которую действует сосредоточенная сила P=0. 5 т и размерами L=0. 8 м; B=0. 4 м; H= 0. 1 м. В результате синтеза по программе Sintankem получен файл исходных данных для расчета с помощью промышленной программы “ЛИРА”, реализующей МКЭ в перемещениях. Эти данные, а также фрагменты результатов расчета по программе “ЛИРА” приведены в приложениях 2 и 3.
Затем с помощью программы Sintankem был выполнен анализ результатов расчета по “ЛИРА” с оценкой жесткости и прочности. Результаты анализа приведены в приложении 4.
Приложение 1
Листинг программы Sintankem
Приложение 2
Исходные данные для расчета по “Лире”
Приложение 3
Результаты расчетов
(перемещения, усилия и напряжения)
Приложение 4
Таблицы узлов с недопустимой жесткостью и
элементов без запаса прочности
Приложение 5
Листинг программы экспертной системы для анализа
опасностей
Государственный комитет РФ по высшему образованию
Новочеркасский
Допущен к защите Государственный
“___”_________1996 г. Технический
Зав. кафедрой Университет
_________________________________________________________________ Факультет ___________________________________________________ Специальность _______________________________________________ __________________________________________________________________ (инициалы и фамилия автора)
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к дипломной работе
НА ТЕМУ _______________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Специальная часть _________________________________________________ как раздел комплексной (групповой) работы _____________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Проектировал _____________________________________________________ (подпись)
Научный руководитель комплексной (групповой) работы ______________ __________________________________________________________________ (подпись) (ученое звание, степень, фамилия, инициалы)
Руководитель работы ______________________________________________ (подпись) (ученое звание, степень, ф. и. о. )
Ведущий конструктор комплексной (групповой) работы ________________ __________________________________________________________________ (подпись)
КОНСУЛЬТАНТЫ:
1. По организационной и экономической части производства ___________ __________________________________________________________________ 2. По безопасности жизнедеятельности _______________________________
НОВОЧЕРКАССК 1996 г.
Annotation
The purpose of diplom work is the developed of algorithms and dialogue programs of automated formation of certainty- element covered models and volumetric designs, limited by surfaces of any form, at minimum volume initial data. The diplom work is performed in tne dialogue regime at the IBM PC. The programme was executed on language C++ of Windows.
Заключение
В результате проведенных работ выполнено :
1. На основе интерполяции кубическими сплайнами с постоянным и переменным шагом разработаны алгоритмы и программы на C++ конструирования аналитически неописываемых поверхностей, оболочковых и объемных конструкций, формирования их конечно-элементных моделей для расчетов с помощью программ, реализующих МКЭ. 2. Разработка на C++ постпроцессоров промышленных программ МКЭ для анализа результатов расчета с оценкой жесткости и прочности.
3. Выполнен пример синтеза и анализа оболочковых конструкций сложной формы.
