Разностные аппроксимации - (реферат)
p>Для уравнения (9) неравенство |q| Ј 1 выполняется согласно (11) при всех j тогда и только тогда, когда g Ј0, 5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условияt Ј 0, 5h2. Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) возможно устойчива, причем условие устойчивости имеет видt/h2 Ј0, 5. Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, h = 10-2. Тогда шаг t не должен превосходить 0, 5 * 10-4, и для того чтобы вычислить решение yjn при t = 1, надо взять число шагов по времени n = t-1 і 2 * 104, т. е. провести не менее 2 * 104 вычислений по формулам (7).3. 3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема, использующая шаблон(xi, tn), (xi±1, tn+1), (xi, tn+1) и имеющая вид
(12)
Здесь jni = f(xi, tn+1) + O(t + h2). Схема имеет первый порядок аппроксимации по t и второй –по h. Решение системы (12) находится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с n = 1. Однако, теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения yin+1 по известным yin требуется решить систему уравнений
(13)
где g = t/h2, Fin = yin + tjin. Эту систему можно решать методом прогонки, так как условия устойчивости прогонки выполнены.
Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения
имеющие вид (10). Тогда получим
следовательно, |q| Ј 1 при любых j, t, h. Таким образом, схема (12) абсолютно устойчива, т. е. устойчива при любых шагахt и h. Абсолютная устойчивость является основным условием неявных схем. Теперь уже не надо брать шагt слишком малым, можно взять, например, t = h = 10-2. Величина шагов сетки t, h определяются теперь необходимой точностью расчета, а не соображениями устойчивости.
Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема (14)
для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изображенный на рисунке. Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметрs и определим разностную схему
(15)
При s = 0 получим отсюда явную схему, при s = 1 – чисто неявную схему и при s = 0, 5 –симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной задачи (1)– (3). Представим решение задачи (15) в виде yin = u(xi, tn) + zin, где u(xi, tn) – точное решение дифференциальной задачи (1) – (3). Тогда для погрешности получим систему уравнений
(16)
i = 1, 2, …, N – 1, n = 0, 1, …, K – 1,
z0n+1 = zNn+1 = 0, n = 0, 1, …, K – 1, zi0 = 0, i = 0, 1, …, N.
Сеточная функция yin, входящая в правую часть уравнения (16) и равная
(17)
называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1) – (3). Получим первые члены разложения функции yin по степеням h и t. Будем разлагать все функции, входящие в выражение для yin, по формуле Тейлора в точке (xi, tn + 0, 5t). Учитывая разложения
где
получим
Отсюда, проводя разложение в точке (xi, tn+1/2) и обозначая u = u (xi, tn+1/2), будем иметь
и, перегруппировывая слагаемые, получим, что
Учитывая уравнение (1) u’’ – u = – f и следствие из него uIV – u’’ = –f’’, окончательно можно записать, что
(18)
Из формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если
то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и четвертый – по h. Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Если
то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и при jin є 0 в виде (10), то получим
и |q| Ј 1 при всех j, если
(19)
Отсюда видно, в частности, что все схемы с s і 0, 5 абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации (s = s*) также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно. При s № 0 разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения yin+1 по заданным yin требуется решать систему уравнений
(20)
где
Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при s № 0 сводятся к неравенству
|1 + 2sg| і 2 |s| g
и выполнены при s і – 1/(4g). Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы.
3. 4. Уравнения с переменными коэффициентами и линейные уравнения. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами
(21)
где r(x, t), k(x, t), f(x, t) – достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям
0 < c1 Ј k(x, t) Ј c2, r(x, t) і c3 > 0. (22)
Дифференциальное выражение при каждом
фиксированном t аппроксимируем в точке (xi, t) так же, как и в стационарном случае, разностным отношением
(23)
где разностный коэффициент теплопроводности a(xi, t) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации
Наиболее употребительны следующие выражения для a(xi, t):
Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид
(24)
Здесь в качестве t можно взять любое значение t О [tn, tn+1], например t = tn + 0, 5t. Если в уравнении (24) t = tn + 0, 5t, s = 0, 5, то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и t выполняется первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. При исследовании устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов, сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами. Рассмотрим явную схему, соответствующую уравнению (24) сs = 0 и f(xi, t) є 0, т. е. схему
(25)
Предположим, что коэффициенты r(xi, t), a(xi, t) – постоянные, r(xi, t) є r = const, a(xi, t) є a = const. Тогда уравнение (25) можно записать в виде
или
Из п. 2 известно, что последнее уравнение устойчиво при t’ Ј 0, 5h2, т. е. при
(26)
Принцип замороженных коэффициентов утверждает, что схема (25) устойчива, если условие (26) выполнено при всех допустимых значенияхa(xi, t), r(xi, t), т. е. если при всех x, t выполнены неравенства
(27)
Если известно, что 0 < c1 Ј a(xi, t) Ј c2, r(xi, t) і c3 > 0, то неравенство (27) будет выполнено при
Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в примере 2 из главы 2. Если параметр s і0, 5, то из принципа замороженных коэффициентов следует абсолютная устойчивость схемы (24).
Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности
(28)
В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пределы изменения функцииk(u), избегают пользоваться явными схемами. Чисто неявная схема, линейная относительноyin+2, i = 1, 2, …, N – 1, имеет вид
(29)
где ai = 0, 5 (k(yni) + k(yni-1)). Эта схема абсолютно устойчива, имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. Решение yin+1, i = 1, 2, …, N – 1, находится методом прогонки. Заметим, что схему (29) можно записать в виде
где ki = k(yin).
Часто используется нелинейная схема
(30)
Для реализации этой схемы необходимо применить тот или иной итерационный метод. Например такой:
(31)
Здесь s –номер итерации. Как видим, нелинейные коэффициенты берутся с предыдущей итерации, а в качестве начального приближения дляyin+1 выбирается yin. Это начальное приближение тем лучше, чем меньше шаг t. Число итераций M задается из соображений точности. В задачах с гладкими коэффициентами приk(u) і c1 > 0 часто бывает достаточно провести две – три итерации. Значения yi(S+1) на новой итерации находятся из системы (31) методом прогонки. При M = 1 итерационный метод (31) совпадает с разностной схемой (29). Для приближенного решения нелинейного уравнения (28) применяются также схемы предиктор– корректор второго порядка точности, аналогичные методу Рунге –Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь переход со слоя n на слойn+1осуществляется в два этапа. Приведем пример такой схемы. На первом этапе решается неявная линейная система уравнений
из которой находятся промежуточные значения yin+1/2, i = 0, 1, …, N. Затем на втором этапе используется симметричная шеститочечная схема для уравнения (28), в которой нелинейные коэффициентыa(y), f(y) вычисляются при y = yin+1/2, т. е. схема
