Разностные аппроксимации - (реферат)
p>для разностной схемы (3), (4) при m2 = 0. Последняя оценка выражает устойчивость решения разностной задачи по правым частямj и m1.2. 4. Разностные тождества и неравенства. Для того, чтобы доказать неравенство (13), нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства. Будем рассматривать сеточные функции, заданные на сетке (7). Обозначим
Справедливо следующее разностное утверждение:
(y, ux) = –(u, yx) + yNuN – y0u1. (14)
Действительно,
что и требовалось доказать. Тождество (14) называется формулой суммирования по частям. Подставляя в (14) вместо u выражение azx и вместо y функцию z, получаем первую разностную формулу Грина
(15)
Здесь В частности, если zN = 0 (как в задаче (11), (12)), то получим (16)
Обозначим
и докажем, что для любой сеточной функции zi, удовлетворяющей условию zN = 0, справедливо неравенство
(17)
Для доказательства воспользуемся тождеством
и применим неравенство Коши-Буняковского
Тогда получим
Откуда сразу следует неравенство (17).
2. 5. Доказательство сходимости. Возвращаясь к доказательству сходимости схемы (3), (4), получим тождество, которому удовлетворяет погрешностьzi = yi – u(xi). Для этого умножим уравнение (11) на hzi и просуммируем по i от 1 до N–1. Тогда получим
Отсюда, применяя разностную формулу Грина (16), получим
Далее, согласно (12) имеем
следовательно, справедливо тождество
(18)
Из этого тождества и будет сейчас выведено требуемое неравенство вида (13). Заметим прежде всего, что если
k(x) і c1 > 0, b і 0, q(x) і 0,
то коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют неравенствам
ai і c1 > 0, b і 0, di і 0. (19)
Это утверждение сразу следует из явного представления коэффициентов (5), (6). Воспользовавшись (19), оценим слагаемые, входящие в левую часть тождества (18), следующим образом:
Тогда придем к неравенству
(20)
Оценим сверху правую часть этого неравенства. Будем иметь
Подставляя эту оценку в (20) и учитывая неравенство (17), получим
т. е.
Окончательно
(21)
Поскольку из неравенства следует,
что погрешность zi = yi – u(xi) также является величиной O(h2) при h®0. Итак, справедливо следующее утверждение. Пусть k(x) – непрерывно дифференцируемая и q(x), f(x) – непрерывные функции при xО[0, l], решение u(x) задачи (1), (2) обладает непрерывными четвертыми производными. Пусть коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют условиям (8), (9), (19). Тогда решение разностной задачи (3), (4) сходится при h®0 к решению исходной дифференциальной задачи (1), (2) со вторым порядком по h, так что выполняется оценка
где M – постоянная, не зависящая от h.
3. Разностные схемы для уравнения теплопроводности
3. 1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области{0 < x < 1, 0 < t Ј T} требуется найти решение уравнения
(1)
удовлетворяющее начальному условию
u(x, 0) = u0(x) (2)
и граничным условиям
u(0, t) = m1(t), u(1, t) = m2(t). (3)
Здесь u0(x), m1(t), m2(t) –заданные функции. Известно, что при определенных предположениях гладкости решение задачи (1)–(3) существует и единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение u(x, t) обладает необходимым по ходу изложения числом производных по x и по t. Решение задачи (1)–(3) удовлетворяет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных.
3. 2. Явная схема. Как всегда, для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, т. е. множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем сетку по переменному x такую же, как в предыдущей главе, т. е.
wh = {xi = ih, i = 0, 1, …, N, hN = 1}
и сетку по переменному t с шагом t, которую обозначим
wt = {tn = nt, n = 0, 1, …, K, Kt = T}
Точки (xi, tn), i = 0, 1, …, N, n = 0, 1, …, K, образуют узлы пространственно-временной сетки wh, t = wh x wt. Узлы (xi, tn), принадлежащие отрезкам I0 = {0 Ј x Ј 1, t = 0}, I1 = {x = 0, 0 Ј t Ј T}, I2 = {x = 1, 0 Ј t Ј T}, называются граничными узлами сетки wh, t, а остальные узлы – внутренними. На рисунке граничные узлы обозначены крестиками, а внутренние – кружочками. Слоем называется множество всех узлов сетки wh, t, имеющих одну и ту же временную координату. Так, n-м слоем называется множество узлов
(x0, tn), (x1, tn), …, (xN, tn).
Для функции y(x, t), определенной на сетке wh, t, введем обозначения yni = y(xi, tn),
(4)
Иногда для упрощения записи индексы i и n будем опускать, обозначая
(xi, tn+1) (xi-1, tn+1) (xi, tn+1) (xi+1, tn+1)
(xi-1, tn) (xi, tn) (xi+1, tn) (xi, tn)
(xi-1, tn+1) (xi, tn+1) (xi+1, tn+1) (xi, tn+1)
(xi-1, tn) (xi, tn) (xi+1, tn) (xi-1, tn) (xi, tn) (xi+1, tn)
(xi, tn-1)
Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (xi, tn), введем шаблон, изображенный на рисунке и состоящий из четырех узлов (xi±1, tn), (xi, tn), (xi, tn+1). Производную ¶u/¶t заменим в точке (xi, tn) разностным отношением ynt, i, а производную ¶2u/¶2x – второй разностной производной ynxx, i. Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией jni, в качестве jni можно взять одно из следующих выражений:
В результате получим разносное уравнение
(5)
которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (xi, tn) с первым порядком по t и вторым порядком по h при условии, что разность jni – f(xi, tn) имеет тот же порядок малости. Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия–в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид
(6)
Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиямиy0i = u0(xi), i = 0, 1, …, N. Если решение yni, i = 0, 1, …, N, на слое n уже найдено, то решение yin+1 на слое n+1 находится по явной формуле
(7)
а значения доопределяются из граничных
условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения yin+1 при заданных yin требуется решать систему уравнений.
Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность zin = yin – u(xi, tn) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) – (3). Подставляя в (6) yin = zin + u(xi, tn), получим уравнение для погрешности
(8)
где – погрешность аппроксимации разностной
схемы (6) на решении задачи (1) – (3), yin = O(t + h2). Можно оценить решение zin уравнения (8) через правую часть yin и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по t и вторым –по h. Однако это исследование мы отложим, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемыйметодом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условииt Ј 0, 5h2, означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым. Рассмотрим уравнение
(9)
т. е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения (9), имеющие вид
yjn (j) = qneijhj, (10)
где i – мнимая единица, j – любое действительное число и q – число, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на eijhj, получим
откуда найдем
(11)
Начальные условия соответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для некоторогоjмножитель q станет по модулю больше единицы, то решение вида (10) будет неограниченно возрастать при n®Ґ. В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же |q|Ј 1 для всех действительных j, то все решения вида (10) ограничены при любом n и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении n. Такие разностные схемы называются неустойчивыми.
