Проективная геометрия - (реферат)
p>Отношение х1/х2 равно В/ (-А), где А и В - коэффициенты любой прямой Ах+Ву+С=0, проходящей через точку М? . Если в уравнение прямой Ах+Ву+С=0 подставить однородные координаты некоторой точки М, лежащей на прямой (х=х1/х3, у=х2 /х3), то получим : Ах1+Вх2+Сх3=0, или иногда его записывают как: u1 x1+u2 x2+u3 x3 = 0 - уравнение прямой в однородном виде (нет свободного члена)Свойства однородных координат на плоскости:
1) Каждая точка проективной плоскости имеет однородные координаты 2) Если х1 , х2 , х3 - однородные координаты точки М, то s х1 , s х2 , s х3 (где s - любое отличное от нуля число) тоже являются однородными координатами точки М.
3) Разным точкам соответствуют разные отношения х1 / х3 , х2 / х3 их однородных координат. Подходящим выбором s одну из координат можно сделать равной 1. Например, точка О - начало координат, получает однородные координаты (0, 0, 1), точка Ґх - (1, 0, 0), точка Ґу - (0, 1, 0), точка единиц по осям х и у - (1, 1, 1). Обозначим эти точки так: А1(1, 0, 0), А2(0, 1, 0), А3(0, 0, 1), Е(1, 1, 1) , их называют вершинами координатного триедра. Прямая А1 А2- это бесконечно удаленная прямая - она имеет в однородных координатах уравнение х3 =0. Оси координат имеют свои обычные уравнения : х1 =0, х2=0.
Однородные координаты в трехмерном пространстве.
Вводятся аналогично первым двум случаям. Сначала определим их для всех точек, не принадлежащих плоскости Ґ (бесконечно удаленной плоскости). Однородными координатами таких точек называются любые четыре числа х1 , х2 , х3 , х4 , не равные одновременно нулю, и такие, что х1 /х4=х , х2 /х4=у, х3 /х4=z, где х, у, z - М. Если же точка М принадлежит плоскости Ґ , то ее однородные координаты определяются условиями : неоднородные (обычные) координаты точки: х4=0;
из трех чисел х1 , х2, х3 хотя бы одно отлично от нуля;
отношение х1/х2/х3равно отношению m/n/p, где m, n, p - параметры уравнения любой прямой, проходящей через точку МҐ (х -х0 ) / m=(y -y0) ) / n=(z -z0 ) / p. Аналогично уравнению прямой в однородном виде (u1 x1+u2 x2+u3 x3+u4 x4=0) можно записать уравнение плоскости в таком же виде: Ax+By+Cz+D=0 , Ax1+Bx2+Cx3+Dx4=0 или u1x1+u2x2+u3x3+u4x4=0 Вершины координатного тетраэдра (пять точек): Ґx , Ґy , Ґ z , 0, E A1 (1, 0, 0, 0) , A2 (0, 1, 0, 0) , A3 (0, 0, 1, 0) , A4 (0, 0, 0, 1) , E (1, 1, 1, 1) ...
Аналитическое представление проективных преобразований (отображений) 1. Сначала рассмотрим проективные отображения плоскости на плоскость. Что такое проективное преобразование (отображение)? Очевидно, это такое отображение, при котором сохраняются проективные свойства объекта, например такое, как разделенность двух пар точек и гармонически сопряженные пары точек. Пусть М/=f(M) - проективное отображение (М - прообраз в исходной плоскости a, М/ - образ в преобразованной плоскости a/). Можно доказать, что и обратное отображение М=f-1 (M/) тоже является проективным, т. е. это взаимно однозначное отображение (биективное). Т. к. все проективные свойства опираются на свойства разделенности и гармонического сопряжения двух пар четырех соответствующих элементов (точек, прямых в пучке в одной плоскости), то существует теорема , по которой проективное отображение одной плоскости в другую однозначно определяется заданием четырех пар соответствующих по отображению точек, при условии, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Показывается, что простейшим таким отображением является линейное отображение вида М(х1 , х2 , х3) ® М/ (s/x1/ , s/x2/ , s/x1/ ) s/x1/ =c11 x1+c12 x2+c13 x3 Числа сi k определяют матрицу такого преобразования, (1) s/x2/ =c21 x1+c22 x2+c23 x3 причем для взаимной однозначности отображения s/x3/ =c31 x1+c32 x2+c33 x3 необходимо, чтобы определитель матрицы № 0. По указанному выше замечанию преобразование (1) однозначно определено, если заданы четыре пары соответствующих точек М1 , М2 , М3 , М4 ® М/1 , M/2 , M/3 , M/4. Более того, всякое линейное отображение вида (1) , определитель которого отличен от нуля, есть проективное отображение. Проективные преобразования составляют группу: это значит, что существует тождественное проективное преобразование (единичное) , обратное к заданному, а также произведение двух проективных преобразований есть снова проективное преобразование. Пусть заданы в плоскости a четыре точки Мk (k=1, 2, 3, 4) с проективными координатами х1 k , х2 k , х3 k , никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четыре точки М/k (k=1, 2, 3, 4) в плоскости a/ с проективными координатами x/1 k , x/2 k , x/3 k, также никакие три из которых не лежат на одной прямой . Надо показать, что из линейных преобразований:
1)
s/kx/1 k =c11 x1 k+c12 x2 k+c13 x3 k
s/kx/2 k=c21 x1 k+c22 x2 k+c23 x3 k c №0
s/kx/3 k=c31 x1 k+c32 x2 k+c33 x3 k
можно однозначно найти 9 параметров сi k и 3 параметра s/k (k=1, 2, 3) , а s/4 всегда можно выбрать равным единице. 2) В трехмерном пространстве:
Каково бы ни было проективное отображение М/=f (M) точек пространства I на пространство I/ , проективные однородные координаты x/1 , x/2 , x/3 , x/4 точки М/ выражаются через проективные однородные координаты х1 , х2 , х3 , х4 точки М с помощью линейных соотношений: s/kx/1 k=c11 x1 k+c12 x2 k+c13 x3 k+c14 x4 k
s/kx/2 k=c21 x1 k+c22 x2 k+c23 x3 k+c24 x4 k
(2)
s/kx/3 k=c31 x1 k+c32 x2 k+c33 x3 k+c34 x4 k
s/kx/4 k=c41 x1 k+c42 x2 k+c43 x3 k+c44 x4 k
с постоянными коэффициентами сi k и при этом определитель матрицы такого преобразования D= с =(сi k) №0. 3) Аналогичные определения существуют при проективном отображении прямой a на прямую a/. Если М/ - точка на прямой а/ с однородными координатами х/1 , x/2 , и точка М - на прямой а с однородными координатами x1 , x2 , то проективное преобразование М/ = f (M) однозначно определяется из соотношений: s/x/1 = c11 x1+c12 x2
s/x/2= c21 x1+c22 x2 и
Часто бывает удобным использовать проективные преобразования в неоднородных координатах.
Для прямой : Если х1 , х2 - однородные координаты точки М на прямой , то х=х1 / x2- число, являющееся неоднородной координатой точки М на этой прямой . Пусть задано проективное преобразование прямой а на прямую а/ . Значит, существуют соотношения :
sx/1 = c11 x1+c12
sx/2 =c21 x1+c22 x2
Разделим почленно первое равенство на второе :
sx/1 /sx/2 =(c11 x1+c12 x2) / (c21 x1+c22 x2) , учитывая , что x/=x/1 / x/2 , и x=x1 / x2 . Преобразуем
x/=(c11 x+c12)/ (c21 x+c22) , введя новые обозначения : a=c11 , b=c12 , g=c21 , d=c22 x/=(ax+b) / (gx+d) - т. е. в неоднородных координатах проективное преобразование выражается дробно - линейной функцией. ad -bg №0
Для плоскости : Однородные координаты точки М - х1 , х2 , х3 , неоднородные : x=x1 / x3 , y=x2 / x3 . Формулы проективного преобразования в неоднородных координатах : x/=(a1 x+b1 y+c1) / (ax+by+ g) , a1 b1 c1y/=(a2 x+b2 y+c2) / (ax+ by+ g) где
В трехмерном пространстве :
Однородные координаты (x1 , x2 , x3 , x4)) .
Неоднородные координаты
Рассмотрим подробнее проективные преобразования одномерных многообразий, здесь можно ограничится случаем преобразования прямой на прямую. Как установили ранее, в неоднородных проективных координат на прямой это преобразование имеет вид дробно-линейной функции (1) х/=? ?? х+? ?? ?? ?? х+? , причем, чтобы существовало обратное проективное преобразование, необходимо, чтобы величина? ?? ?? ?? ?? ?0. Запишем преобразование (1) в виде функции х/= f(x). Пусть данное отображение применяется последовательно два раза: х/= f(x), x//= f(x/)= f(f(x)). Тогда, если для любого элемента х одномерного многообразия (на прямой) выполняется соотношение x//= f(x/)= х (то есть дважды преобразованный возвращается в себя) , то такое проективное отображение называется инволюционным илиинволюцией. Инволюция характеризуется еще и тем, что x= f(x/), т. е. обратное отображение х/= х совпадает с исходным х= х/. Найдем условие на коэффициенты в (1), при которых проективное отображение является инволюцией. Для этого из (1) выразим х через х/ : (? ?x /- ? ?)x= -? ?? x/ + ? ?? ?? x= -? ?? x/+? ?? ?? ?x /- ? ?(2). Из сравнения (1) и (2) видно, что отображения одинаковы тогда, когда либо: а) ? ?=-? ?? ?? ?? ?? ?? ?? любые
б) ? ?=? ?? ?? ?=? ?? = 0 - но это тождественное отображение, которое исключим из рассмотрения. Таким образом, из случая а) вытекает форма инволюционого проективного отображения х/= ? ?х+? ?? ?? ?х-? ?? , где -? ?? ?? ?? ?? ?? ?? обозначим ? ?= -? ?? ?? ? Неподвижной точкой любого отображения называется точка, остающаяся неизменной после отображения. Для инволюции это означает , что х =х/= ? ?х+? ?? ?? ?х-? ?? . Решим последнее уравнение относительно х (3) ? ?х2-2? ?? х-? ?= 0 - квадратное относительно х. Это означает, что при инволюционном отображении число неподвижных точек не может быть больше 2. Дискреминант уравнения (3) есть? ?? ?? ?=-? ? Если -? ?? ?? (дискриминант отрицательный), то уравнение (3) не имеет действительных корней, то есть нет ни одной неподвижной точки. Такая инволюция называется эллиптической (ее условие --? ?? ?? ?? ?? ?
Если -? ?? ?? ?? то есть ? ?? ?? ?-? ?? ?? ?? ?? ?? то уравнение (3) имеет два действительных корня или две неподвижные точки называется такая инволюция гиперболической.
Если ? ?? ?? ?то есть ? -? ?? ?? ?? ?? ?? параболическая инволюция, но в этом случае такое отображение не входят в группу проективных преобразований, так как оно не взаимно однозначно. Существует теорема , что для однозначного определения инволюции надо задать две пары соответствующих точек на прямой, в отличии от общих формул проективного отображения прямой на прямую, где надо задать три пары точек. Следующий инвариант проективной геометрии - сложное отношение четырех точек на прямой.
Оно определяется так : Пусть М1, М2, M3, M4-четыре точки некоторой проективной прямой. Введем систему проективных неоднородных координат , и обозначим через t1, ,t2, t3, t4, координаты заданных точек. Можно показать, что величина (t3-t1)/(t2-t3): (t4-t1)/(t2--t4не зависит от выбора координатной системы, а определяется только положением точек на прямой.
Эта величина обозначается (М1 М2 M3 M4)= (t3-t1)/(t2-t3): (t4-t1)/(t2--t4 ) и называется сложным отношением четырех точек (СОЧТ). Непосредственным вычислением можно показать, что выполняются два свойства СОЧТ.
1) (М1 М2 M3 M4)=(M3M4M1M2)
2) (М1 М2 M3 M4)= 1/ (М1 М2 M3 M4) то есть СОЧТ не меняется при перестановке первой и второй пар точек , изменяется на обратную величину при перестановке точек внутри какой-нибудь пары.
Важная теорема проективной геометрии гласит.
При любом проективном отображении прямой а на прямую а/ сложное отношение произвольной группы точек М1 М2 М3 М4 прямой а равно сложному отношению соответствующих им точек М1/ M2/ M3/ M4/ прямой а/ .
Частным ее случаем является утверждение:
В плоскости ? ?заданы две прямые а и а/ , задана произвольная точка S , принадлежащая плоскости ? ?, но не лежащая на прямых а и а/. Тогда, сложное отношение любой четверки точек М1 М2 М3 М4 прямой а равно сложному отношению их проекций М1/ М2/ М3/ М4/ из центра S на прямую а/ .
Аналогичное утверждение можно сформулировать для плоского пучка из четырех лучей m1 m2 m3 m4 Любая прямая, пересекающая эти четыре луча в
четырех точках, имеет для этих четырех точек одно и тоже сложное отношение.
(М1 М2 М3 М4)=инвариант проективной геометрии
или, что тоже самое (m1 m2 m3 m4 ) - инвариант проективной геометрии Основной вывод: Сложное отношение четырех элементов одномерного многообразия - есть инвариант проективных отображений. Можно показать, что если пара точек А , В гармонически разделяет пару точек С, D, то сочетание (А В С D)=-1. Оно вытекает из свойства гармонического сопряжения , когда каждая точка первой пары делит отрезок, образуемый второй парой точек внутренним и внешним образом в одинаковом отношении
АС/AD=BC/BD или через неоднородные координаты ti точек (1, 2, 3, 4) соответствует ( A , B , C , D ) (t3 - t1)/(t1 - t4) = (t2 - t3)/(t2 - t4) или (t3 - t1)/(t2 - t3) = - (t4 - t1)/(t2 - t4) или ((t3 - t1)/(t2 - t3))/((t4 - t1)/(t2 - t4))=-1
Матрицы проективных преобразований.
Представим перспективную проекцию объекта как проективное преобразование с центром проекции на оси z (на расстоянии zqот начала координат). Пусть плоскостью проекции является координатная плоскость XOY
P(x, y, z)-точка объекта , P/(X, Y)-её проекция из центра Q. Известно, что координаты точки-проекции P/ есть X=x/(1-z/zq) , Y=y/(1-z/zq) (*) Однородные координаты точки P (x, y, z, 1) - P/(x/, y /, z/, w /) , w ? ?? Преобразование (*) может быть выражено через матрицу проективных преобразований в однородных координатах:
Неоднородные координаты точки P/ получаем отсюда : X=x/(1-z/zq ) , Y=y/(1-z/zq ) , Z=0
Найдём проекцию бесконечно удаленной точки на оси Z - $ однородные координаты (0, 0, 1, 0). Вместо МПрвозьмем матрицу полного проективного преобразования (без проецирования на плоскость XOY).
Неоднородные координаты проекции этой точки (0 , 0 , -zq )
Если взять семейство параллельных оси z прямых, то после такого проективного преобразования каждая из них пройдет через указанную точку (0, 0, -zq ) на оси z . Поэтому эту точку называют точкой схода. Аналогично, матрицы
описывают проективные преобразования с точками схода на оси OX и OY. Это все преобразованные с одной точкой схода.
Матрица преобразование
с двумя точками схода
Групповые свойства проективных преобразований
Группа - есть совокупность объектов произвольной природы, которые называются элементами группы а обозначается символами a, b, c, .... , удовлетворяющая требованиям следующих аксиом:
1. С каждой парой элементов совокупности, взятых в определённом порядке, сопоставлен по определённому закону некоторый третий элемент этой же совокупности.
Символически это записывают так c=ab, элемент c называется произведением (композицией) элементов a и b. Иначе: композиция двух любых элементов группы даёт элемент, принадлежащий этой же группе.
2. Закон ассоциативности: Каковы бы ни были три элемента группы a, b, c, всегда имеет место соотношение (ab)c=a(bc)
3. Существует такой элемент e, что для любого элемента a группы выполняется ae=a. Элемент e называется единичным элементом.
4. Каким бы ни был элемент группы a, всегда существует такой элемент x, что ax=e.
Элемент x называется обратным элементу a и обозначается a-1, т. е. X= a-1. Отсюда следуют такие правила:
a) если ax=e, то и xa=e
б) если e-единичный элемент группы, то ae= a и ea= a т. е. не различается “левая” и “правая” единицы
в) из соотношения ax= e обратный элемент x определяется однозначно Если все эти положения применить к проективным преобразованиям, а именно к представляющим их матрицам проективных преобразований в однородных координатах, то можно сказать, что совокупностьпроективных преобразований составляет группу: 1) произведение двух проективных матриц есть вновь матрица проективного преобразования;
2) (c1c2)c3= c1(c2c3)
единичный элемент
4) условием существования обратного элемента является условие существования обратной матрицы, для последнего необходимо, чтобы [c]#0 это условие является требованием проективного преобразования.
Группу проективных преобразований называют проективной группой. Прежде чем рассмотреть матрицы проективных преобразований, соответствующих конкретным их типам, вспомним иерархию геометрических преобразований.
Для однозначного определения матрицы преобразования 1гоуровня необходимо (n+2) точки. Для однозначного определения матрицы преобразования 2го уровня необходимо (n+1) точка. Для однозначного определения матрицы преобразования 3го уровня необходимо n точек.
Матрицы конкретных проективных преобразований.
Каждое преобразование более низкого уровня является одновременно и преобразованием более высокого
1) На плоскости. Перенос на вектор n (a, b)
P/=M(n )P P, P/ - однородные координаты
Поворот на угол ? ?против часовой стрелки вокруг начала координат. Маштабирование относительно начала координат.
неоднородное
2) В пространстве
Вращение
относительно оси Z(угол ? ?)
относительно оси X(угол ? )
относительно оси y(угол ? ?)
Сложные преобразования строятся как цепочки преобразований. Перспективные преобразования.
1) C одной точкой схода (соответственно на различных осях). А) На оси Z
куда преобразуется точка , параллельная z, лежащая на бесконечности т. Аz(0, 0, 1, 0)
В неоднородных координатах.
т. е. точка схода лежит на оси z на расстоянии (-zq)
б) на оси x
Прямые параллельные оси ox идущей из бесконечности т. А(1, 0, 0, 0) преображаются в т. (-xq, 0, 0)
в) На оси у
т. А(0, 1, 0, 0) преображается в точку (0, -yq, 0)
г) С двумя точками схода , с тремя.
