Проективная геометрия - (реферат)
p>Две произвольные точки А, В проективной прямой U разделяют ее на два отрезка(рис. 9). Чтобы отличить один из двух рассматриваемых отрезков от другого, нужно указать какую-нибудь его точку. Поэтому в проективной геометрии отрезок иногда обозначается тремя буквами. Например отрезок A С В обозначают отрезок с концами А, В и внутренней точкой С. Если точка D принадлежит другому отрезку то его можно обозначить А D В. Как легко видеть, пара точек А, В разделяет пару точек С, D. Отрезки А C В и A D B называютсядополнительными друг к другу. Мы рассмотрели, как вести порядок точек на каком-либо отрезке проективной прямой. Точки М, N , принадлежащие отрезку А В упорядочены так, что точка М предшествует точки N, если пара А, N разделяет пару M, B.Чтобы это распространить на все точки отрезка А, В надо показать выполнение условия транзитивности: т. е. если точка М предшествует точке N, точка N предшествует точка Р, то точка М предшествует точке Р, т. е. надо показать, что пара АР разделяет пару M, B. Т. к. А, N разделяет пару М, В, то точка М лежит на отрезка А M N.
Т. к. A, P разделяет N, B, то точка N лежит на отрезке A N P, таким образом весь отрезок A M N лежит внутри отрезка A N P и т. о. точка М предшествует Р(рис. 10).
Для дальнейшего введения системы координат на проективной прямой нам понадобится понятие гармонически сопряжённых пар точек. Для их определения рассматривается проективные понятия трёхвершинника и четырёхвершинника. Условимся называтьтрёхвершинником совокупность трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх прямых, попарно соединяющих эти точки (рис. 12).
Точки A, B, C назовём вершинами, прямые a, b, c сторонами трёхвершинника. Рассмотрим второй трёхвершинник A/, B/, C/. Для доказательств многих теорем проективной геометрии используется теорема Дезарга(являющаяся основной теоремой проективной геометрии). Сформулируем её: ”Если соответственные стороны трёх вершинников ABC и A/B/C/ (т. е. AB и A/B/, BC и B/C/, AC и A/C/) пересекаются в точках P, Q, R лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины сходятся в одной точке (O)”. Справедлива иобратная теорема Дезарга: ”Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух трёхвершинников ABC и A/B/C/сходятся в одной точке, то соответственные стороны пересекаются в точках лежащих на одной прямой”. Обычно прямую u , где расположены точки пересечения соответствующих сторон, называют осью преспективы, а точку, в которой сходятся прямые, соединяющие соответствующие вершины называют центром перспективы. Тогда обе теоремы Дезарга сформулируются одним утверждением: ”Если два трёхвершинника имеют ось перспективы, то они имеют и центр перспективы и обратно”.
Определение: Плоская фигура, составленная четырьмя точками, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и шестью прямыми, соединяющими попарно эти точки называетсяполным четырёхвершинником.
Указанные стороны называются вершинами, прямые- сторонами четырёхвершинника. Вершины - A, B, C, D. Стороны- a, b, c, d, s, t (рис. 13).
Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными. Это a и d , b и c , s и t. Точки пересечения противоположных сторон называются диагональными точками четырёхвершинника. Здесь это точки P, Q, R. При помощи полного четырёхвершинника определяется понятие гармонически сопряжённых пар точек.
Определение: Пару точек S и T произвольной прямой и называют гармонически сопряжённой с паройточек P и Q этой же прямой, если P и Q суть диагональные точки некоторого четырёхвершинника, а точки S и T есть точки пересечения этой прямой с двумя противоположными сторонами четерёхвершинника, проходящими через третью диагональную точку.
Введённое определение позволяет построить четвёртую гармоническую точку к трём произвольно заданным точкам прямойu. Выберем вне прямой u некоторую т. B и на прямой PB некоторую т. A, отличную от P и от B. Тогда пересечение прямых AQ и BS определяет точку C. Пересечение прямых BQ и AC определяет точку D. Пересечение прямой AD с прямой u определяет четвертую гармоническую т. T. Т. О. положение т. T по трём заданным определяется однозначно.
Аналогично теореме Дезарга для двух трёхвершинников, существует подобная теорема для двух четырёхвершинников.
Теорема: Пусть ABCD и A/B/C/D/- два четырёхвершинника с двумя общими диагональными точками P и Q (пересечениями противоположных сторонAB и CD, A/B/ и C/D/ и AC и BD, A/C/ и B/D/ ). Тогда, если стороны BC и B/C/ этих четырёхвершинников пересекаются в точке S прямой PQ, то их стороны AD и A/D/ пересекаются в точке T этой же прямой. Если пара точек P и Q гармонически сопрежена с парой точек S и T, то и обратно пара точек S T гармонически сопряжена с P, Q.
Т. е. эти пары взаимно гармонические. Как и свойство взаимной раздельности пар, свойство гармонической сопряжённости инвариантно относительно проектирования (это инвариант проективной геометрии) (рис. 14).
Т. e. если P, Q и S, T гармонически сопряжённые пары, то после проектирования из некоторого центра O на прямую и получим тоже гармонически сопряжённые пары P/, Q/ и S/, T/.
Важной также является теорема о том, что “Взаимно гармонические пары разделяют друг друга”. Теперь мы переходим к установлению принципа определения точек проективного пространства с помощью координат.
Построим сначала целочисленную систему координат на проективной прямой. Если эту прямую разрезать по её бесконечно удалённой точке, то множество конечных точек прямой можно упорядочить двумя различными способами(как бы по возрастанию и убыванию координат). Каждый из этих способов называется линейным порядком. Возьмём на введённой проективной прямой aтри точки из которых две помечены числами 0 и 1, а третья значком бесконечности. Точку бесконечности считаем бесконечно удалённой точкой прямой, точки 0 и 1- конечными, а прямуюa- разрезанной в т. бесконечность. Введём на прямой a линейный порядок так, чтобы т O предшествовала точке 1 Далее числом 2 пометим точку, которой вместе с точкой O составляет пару, гармонически сопряженную с парой (1, бесконечность). По известной теореме такую точку можно всегда построить и к тому же пара (O, 2) разделяет пару (1, бесконечность). Поэтому в линейном порядке т. 1 лежит между т. O и т. 2, или иначе, т. 2 следует за т. O и т. 1.
Построить т. 2 можно так: проведём через т. бесконечность прямой a две прямые, пометим их числом 1 и буквой U. Выберем на прямойu любую точку A. Проведём прямые AO и A1. Они в пересечении с прямой 1 дадут точки (1, 0) и (1, 1). Далее проведём через т. O и (1, 1) прямую до пересечения с прямойuполучим т. B. Соединим B и 1 и найдём точку пересечения прямой B1 и 1. Это точка (1, 2). Проектируя эту точку на прямую a из центра A получим т. 2. Она и будет той четвёртой точкой в гармонически сопряжённых парах O, 2 и 1, бесконечность. Это можно показать, рассмотрев четырёхвершинник A, B, (1, 1), (1, 2).
Далее процесс построения аналогичный. Проектируя точку 2 на прямую 1 из т. B получим точку (1, 3). Проектируя последнюю на прямуюa из точки A получим т. 4 и т. д. Аналогично можно получить точки, помеченные отрицательными числами. Так мы выстроили шкалу для определения целочисленных координат точек на прямой. Далее мы начинаем дробить отрезки и находить сначала координаты типа Z= (X+ Y)/2. Оказывается, что точки Z, бесконечность составляют гармоническую пару с X, Y. Сама точка Z называется проективным центром отрезка (X, Y). Дробя далее отрезки можно присвоить каждой следующей дробной точке определённое число. Таким образом, разрезанной проективной прямой получает соответствующее число, которое называют проективной координатой.
На проективной плоскости каждая точка получает две проективные координаты, в проективном пространстве- три.
До сих пор мы устраивали координатную систему на разрезанной проективной прямой, при этом одна точка, обозначаемая бесконечность, никакой координаты не получала.
Чтобы все точки получили значения, приходится употреблять “Однородные координаты”.
Рассмотрим вначале систему однородных координат на проективной прямой а. Отметим, что любая точка М этой прямой имеет некоторую координату х, введенную так, как показано в предыдущей лекции при задании системы координат точками 0, 1, ?? ?При этом вполне определенную координату получает любая точка прямой, кроме точки? ?
Введем для точки М два числа х1 и х2, не равные одновременно нулю и такие, что их отношение (х1/х2) равно х. Эти числа (х1, х2) будем называть однородными координатами точки М. С точкой ? ? сопоставим однородные координаты х1, х2 при условии х2=0.
Свойства системы однородных координат:
Каждая точка проективной прямой имеет однородные координаты. Если х1, х2 -однородные координаты т. М, то ? х1, ?? х2, где ? ?любое число, отличное от нуля, есть тоже однородные координаты т. М. Разным точкам проективной прямой всегда соответствуют разные отношения их однородных координат.
Важнейшим свойством является второе: именно -каждая точка проективной прямой имеет бесконечно много пар однородных координат, которые сами по себе не определяются соответствующей им точкой, точка определяет лишь их отношение. Поэтому, подходящим подбором множителя s можно одну из координат взять равной единице (как правило -х2). Выпишем теперь однородные координаты базовых точек проективной прямой точек 0, ?? ?1, обозначаемых А1 , А2 , А3 . А1 (0, 1), А2 (1, 0), А3 (1, 1).
Однородные координаты па проективной плоскости
На проективной плоскости все точки, кроме лежащих на прямой ? ?(бесконечно удаленной прямой), имеют однородные проективные координаты. Базовыми точками для арифметизации проективной плоскости (т. е. введения проективных неоднородных координат) являются: начало системы координат О ; ?Х (бесконечно удаленная на оси х), ?? y (бесконечно удаленная на оси y), (1, 1) - единичная. Очевидно, бесконечно удаленная прямая проходит через точки? х и ? y. Определим однородные проективные координаты сперва для точек проективной плоскости, не лежащих на прямой? . Однородными координатами такой точки М назовем три числа х1 , х2 , х3 , не равных одновременно нулю и таких, что х1/х2=х; х2/х3=y, где х и y - проективные неоднородные (обычные) координаты. Однородными координатами точки М? ?? лежащей на прямой ? ?, назовем три числа х1 , х2 , х3 при условиях: х3=0;
Из двух чисел х1 , х2 хотя бы одно отлично от нуля;
