Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез - (контрольная)
p>Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости . Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости .Решение
Построить вариационные ряды для случайных величин и .
Вариационный ряд величины
-6
12
22
33
-5
12
23
34
-4
12
23
34
-3
12
24
34
0
13
24
35
1
14
25
36
1
14
25
36
1
15
25
36
1
16
25
37
2
16
25
38
2
16
25
38
3
16
25
38
3
16
26
39
4
16
26
39
4
17
26
40
4
17
27
40
6
17
27
40
7
18
28
40
7
18
29
41
9
19
29
44
9
19
29
45
9
19
30
46
9
19
30
48
10
19
30
48
10
19
30
49
10
20
31
49
10
20
31
51
11
20
32
52
11
20
32
55
11
21
32
58
Вариационный ряд величины
1
21
2
22
2
23
3
23
4
24
4
25
6
25
9
25
9
25
10
26
10
26
11
26
11
27
12
27
12
30
13
30
14
31
15
32
16
37
16
38
16
38
17
39
17
40
18
44
19
45
19
48
19
49
19
51
20
52
20
58
Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин и . Найдем количество элементов выборок после группировки элементов Величина :
Величина :
Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины
№ пр-ка
Границы промежутка
Середина промежутка
Количество элементов выборки в промежутке
Частота для промежутка
1
-8 ; 0
-4
4
0. 0333
2
-0 ; 8
4
15
0. 1250
3
8 ; 16
12
19
0. 1583
4
16 ; 24
20
25
0. 2083
5
24 ; 32
28
24
0. 2000
6
32 ; 40
36
17
0. 1417
7
40 ; 48
44
8
0. 0667
8
48 ; 56
52
8
0. 0667
Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины
№ пр-ка
Границы промежутка
Середина промежутка
Количество элементов выборки в промежутке
Частота для промежутка
1
0; 9
4, 5
7
0. 1167
2
9 ; 18
13, 5
16
0. 2667
3
18 ; 27
22, 5
19
0. 3167
4
27 ; 36
31, 5
6
0. 1000
5
36 ; 45
40, 5
6
0. 1000
6
45 ; 54
49, 5
5
0. 0833
7
54 ; 63
58, 5
1
0. 0167
Построить гистограммы распределения случайных величин и .
Гистограммы распределения приведены на графиках с теоретическими функциями распределения.
Найти выборочное среднее , и исправленные выборочные среднеквадратические отклонения: , случайных величин и . Выборочное среднее случайной величины равно
Выборочное среднее случайно величины равно
Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение случайной величины : =14. 3632
Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение случайной величины : =13. 5727
Проверить, используя метод гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин и при уровне значимости . Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины . Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле
, где - объем выборки, - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,
Построим вспомогательную таблицу:
1
4
-1. 9169
4. 2461
0. 0606
0. 014
2
15
-1. 3600
10. 5760
19. 572
1. 850
3
19
-0. 8030
19. 3161
0. 0999
0. 005
4
25
-0. 2460
25. 8695
0. 7561
0. 0292
5
24
0. 3110
25. 4056
1. 9757
0. 0778
6
17
0. 8680
18. 2954
1. 6780
0. 0917
7
8
1. 4249
9. 6610
2. 7590
0. 2856
8
8
1. 9819
3. 7409
18. 139
4. 8491
В итоге получим = 7, 2035
По таблице критических точек распределения ([1], стр. 465), по уровню значимости =0, 05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим
Т. к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины.
Для случайной величины :
Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле
, где - объем выборки, - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,
1
7
-1. 4036
5. 9274
1. 1504
0. 1941
2
16
-0. 7405
12. 0665
15. 4725
1. 2823
3
19
-0. 0774
15. 8248
10. 0820
0. 6371
4
6
0. 5857
13. 3702
54. 3197
4. 0627
5
6
1. 2488
7. 2775
1. 6319
0. 2242
6
5
1. 9119
2. 5519
5. 9932
2. 3485
7
1
2. 5750
0. 5765
0. 1794
0. 3111
В итоге получим = 8. 1783
По таблице критических точек распределения ([1], стр. 465), по уровню значимости =0, 05 и числу степеней свободы 7 - 3=4 находим
Т. к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины.
Построить график функции плотности распределения случайной величины в одной системе координат с гистограммой. ( взяв в качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки и ) и вычислив значение функции в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.
Выполнить задание 6 для случайной величины .
Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин и , соответствующие доверительной вероятности .
Найдем доверительный интервал для математического ожидания : Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством. И доверительный интервал для выглядит следующим образом:
Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0, 95 и =120 находим: =1, 980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:
То есть: (20, 93721; 26, 12946).
Найдем доверительный интервал для математического ожидания : Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством. И доверительный интервал для выглядит следующим образом:
Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0, 95 и =60 находим: =2, 001. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:
То есть: (20, 043; 27, 056).
Известно, что если математическое ожидание неизвестно, то доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности имеет вид
Для случайной величины найдем:
.
Таким образом, имеем доверительный интервал: (162, 8696; 273, 8515). Для случайной величины найдем
Таким образом, имеем доверительный интервал: (134, 82; 277, 8554). (Квантили распределения найдены по таблице [3], стр. 413).
Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости . Рассмотрим статистику
,
где
,
которая имеет распределение Стъюдента ,
Тогда область принятия гипотезы .
Найдем s:
Найдем значение статистики :
По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391)
Т. к. , то гипотеза принимается. Предположение о равенстве математических ожиданий не противоречит результатам наблюдений. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости. Рассмотрим статистику , где , т. к... Эта статистика имеет распределение Фишера . Область принятия гипотезы
Найдем значение статистики :
По таблицам найдем . Т. к. , то гипотеза принимается. Предположение не противоречит результатам наблюдений. Библиографический список
Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред. А. В. Ефимова. – 2-е изд. , перераб. и доп. – М. : Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит. , 1990. – 428 с. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. М. : Высш. Шк. , 1997. – 400 с. : ил.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М. ,“Высш. школа”, 1977.
Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М. : 1969, 576 с.
Страницы: 1, 2
