Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении - (контрольная)

p>Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривой плотности (дифференциальной функции) теоретического распределения (генеральной совокупности). Поэтому по их виду можно судить о гипотическом законе распределения.

Для построения кумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака xi, а по оси ординат–накопленные относительные частоты Whi. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают интервалы .

С кумулятой сопоставляется график интегральной функции распределения F(x). В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался отрицательным (Ас=-0, 005), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс оказался также отрицательным (Ек= -0, 034). Это говорит о том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной, имеет несколько более плоскую вершину. Гистограмма и полигон напоминают кривую нормального распределения (рис. 1. 1 и 1. 2. ). Все это дает возможность выдвинуть гипотезу о том, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным.

Приечание: Кумулята, гистронрамма и полигон находятся в приложениях к работе.

5* Рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического нормального распределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и кумуляты соответственно.

    Расчет теоретической нормальной кривой распределения

Приведем один из способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам x и S эмпирического ряда. При расчете теоретических частот m^тi за оценку математического ожидания (мю) и среднего квадратического отклонения G нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик x ср. и S, т. е. (мю)=Xср. = 751, 7539; G=S=7, 99.

    Теоретические частоты находят по формуле: M^i=npi,

где n – объем; Pi –величина попадания значения нормально распределенной случайной величины в i-й интервал.

    Вероятность Pi определяется по формуле
    Pi=P(ai

Где Ф(t)=2\ 2(пи)=интегралу с границами от (0; t) е^x2/2dx - интегральная функция Лапласа– находится по таблице для

    T2i=bi-x ср. \ S
    T1i=ai-x ср. \S

Таблицы Для вычисления вероятности нормальной кривой распределения Интервалы

    Mi
    T1
    T2
    1/2Ф(T1)
    1/2Ф(T2)
    Pi
    a(i)
    b(i)
    730, 644
    735, 356
    2
    -2, 640
    -2, 051
    0, 4958
    0, 4798
    -0, 0080
    735, 356
    740, 068
    8
    -2, 051
    -1, 461
    0, 4798
    0, 4279
    -0, 0260
    740, 068
    744, 780
    6
    -1, 461
    -0, 872
    0, 4279
    0, 3078
    -0, 0601
    744, 780
    749, 492
    18
    -0, 872
    -0, 283
    0, 3078
    1, 1103
    0, 4013
    749, 492
    754, 204
    35
    -0, 283
    0, 306
    0, 0300
    0, 6619
    0, 3160
    754, 204
    758, 916
    12
    0, 306
    0, 896
    0, 1179
    0, 3133
    0, 0977
    758, 916
    763, 628
    11
    0, 896
    1, 485
    0, 3133
    0, 4306
    0, 0587
    763, 628
    768, 340
    6
    1, 485
    2, 074
    0, 4306
    0, 4808
    0, 0251
    768, 340
    773, 052
    2
    2, 074
    2, 664
    0, 4808
    0, 4960
    0, 0076
    Pi*n
    Mi(теор)
    Mi(теор)/h
    Mi(теор)накоп
    -0, 8000
    1
    0, 002
    0, 0080
    -2, 5950
    3
    0, 006
    0, 0340
    -6, 0050
    6
    0, 013
    0, 0940
    40, 1250
    40
    0, 085
    0, 4953
    31, 5950
    32
    0, 068
    0, 8153
    9, 7700
    10
    0, 021
    0, 9130
    5, 8650
    6
    0, 012
    0, 9716
    2, 5100
    3
    0, 005
    0, 9967
    0, 7600
    1
    0, 002
    1, 0000
    100

Сравнение гистограммы и нормальной кривой наглядно показывает согласованность между теоретическим и эмпирическим распределением.

Примечание: Построенные графики находятся в приложениях к работе.

6* Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласи яПирсона f^2).

    Проверка гипотез о нормальном законе распределения

Частоты для проверки соответствия эмпирического ряда распределения нормальному закону используют критерий X^2, основанный на сравнении эмпирических частот mi с теоретическими m^тi, которые можно ожидать при принятии определенной нулевой гипотезы.

Значение X^2набл. – наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно к

    F^2набл. = (mi-m^тi)
    I=1 m^i

Где к – число интервалов (после объединения). M^i –теоретические частоты. Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления f^2, сведем в таблицу 1. 6.

    Таблица 1. 6.

Вычисление критерия X^2 при проверке нормальности продолжительности горения электролампочек

    Интервалы
    Mi(Практ)
    Mi(теор)
    (Mi-Mi(теор))^2
    ….../Mi(теор)
    a(i)
    b(i)
    730, 644
    735, 356
    2
    2
    9
    1, 29
    735, 356
    740, 068
    8
    5
    740, 068
    744, 780
    6
    13
    49
    3, 88
    744, 780
    749, 492
    18
    21
    9
    0, 43
    749, 492
    754, 204
    35
    25
    100
    4, 01
    754, 204
    758, 916
    12
    21
    81
    3, 89
    758, 916
    763, 628
    11
    12
    1
    0, 08
    763, 628
    768, 340
    6
    5
    1
    0, 14
    768, 340
    773, 052
    2
    2
    X^2набл
    13, 71

Правило проверки гипотезы заключается в следующем. Определяем по таблице распределенияxu-квадрат критическое значение X^2кр. (альфа для числа степеной свободы V=к-3 и заданного уровня значимости альфа. Затем сравниваем X^2кр.

Если X^2 набл. X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределенияотвергается с вероятностью ошибки a.

Для нашего примера X^2набл. =13, 71, a=0, 005, V=7-3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и X^2кр. (0, 005; 4) =14, 9

Так как X^2набл.

Страницы: 1, 2