Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении - (контрольная)

Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении - (контрольная)

Дата добавления: март 2006г.

    Кафедра математической статистики и эконометрики
    Расчетная работа №1
    По курсу:
    “Математическая статистика”
    по теме:
    “Оценивание параметров
    и проверка гипотез
    о нормальном распределении”
    Группа: ДИ 202
    Студент: Шеломанов Р. Б.
    Руководитель: Кацман В. Е.
    Москва 1999
    Содержание
    ЗАДАНИЕ № 23 3

Построение интервального вариационного ряда распределения 3 Вычисление выборочных характеристик распределения 4

    Графическое изображение вариационных рядов 5
    Расчет теоретической нормальной кривой распределения 6
    Проверка гипотез о нормальном законе распределения 7
    ЗАДАНИЕ № 23
    Продолжительность горения электролампочек (ч) следующая:
    750
    750
    756
    769
    757
    767
    760
    743
    745
    759
    750
    750
    739
    751
    746
    758
    750
    758
    753
    747
    751
    762
    748
    750
    752
    763
    739
    744
    764
    755
    751
    750
    733
    752
    750
    763
    749
    754
    745
    747
    762
    751
    738
    766
    757
    769
    739
    746
    750
    753
    738
    735
    760
    738
    747
    752
    747
    750
    746
    748
    742
    742
    758
    751
    752
    762
    740
    753
    758
    754
    737
    743
    748
    747
    754
    754
    750
    753
    754
    760
    740
    756
    741
    752
    747
    749
    745
    757
    755
    764
    756
    764
    751
    759
    754
    745
    752
    755
    765
    762

По выборочным данным, представленным в заданиях №1-30, требуется:

    1* Построить интервальный вариационный ряд распределения;
    Построение интервального вариационного ряда распределения
    Max: 769
    Min: 733
    R=769-733=36
    H= R / 1+3, 32 lg n=36/(1+3, 32lg100)=4, 712
    A1= x min - h/2=730, 644
    B1=A1+h; B2=A2+h

2* Вычислить выборочные характеристики по вариационному ряду: среднюю арифметическую (x ср. ), центральные моменты (мю к, к=1, 4), дисперсию (S^2), среднее квадратическое отклонение (S), коэффициенты асимметрии (Ас) и эксцесса (Ек), медиану (Ме), моду (Мо), коэффициент вариации(Vs);

    Вычисление выборочных характеристик распределения
    Di=(xi- xср)
    xср =е xi mi/е mi
    xср = 751, 7539
    Вспомогательная таблица ко второму пункту расчетов
    Выборочный центральный момент К-го порядка равен
    M k = ( xi - x)^k mi/ mi
    В нашем примере:
    Центр момент 1
    0, 00
    Центр момент 2
    63, 94
    Центр момент 3
    -2, 85
    Центр момент 4
    12123, 03

Выборочная дисперсия S^2 равна центральному моменту второго порядка: В нашем примере:

    S^2= 63, 94
    Ввыборочное среднее квадратическое отклонение:
    В нашем примере:
    S= 7, 996

Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса Fk по формулам Ac = m3/ S^3;

    В нашем примере:
    Ас =-0, 00557
    Ek = m4/ S^4 -3;
    В нашем примере:
    Ek = -0, 03442

Медиана Ме - значение признака x (e), приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений ( n = 2l -1). При четном числе наблюдений( n= 2l) медианой Ме является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда: Me=( x(e) + x( e+1) /2

Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по ормуле Me= a me +h * ( n/2 - mh( me-1) / m me

где mе- означает номер медианного интервала, ( mе -1) - интервала, редшествующего медианому.

    В нашем примере:
    Me=751, 646

Мода Мо для совокупности наблюдений равна тому значению признака , которому соответствует наибольшая частота.

Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле

Mo= a mo + h * ( m mo- m(mo-1))/2 m mo- m( mo-1) - m( mo+1) где моозначает номер модального интервала ( интервала с наибольшей частотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов. В нашем примере:

    Mo = 751, 49476

Так как Хср, Mo Me почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.

    Коэффициент вариации Vs = S/ x * 100 %= 3. 06%
    В нашем примере:
    Vs= 1, 06%
    3* Построить гистограмму, полигон и кумуляту.
    Графическое изображение вариационных рядов

Для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения (x ср. ) и характера рассеивания (S^2 и S) вариационные ряды изображают графически.

Полигон и кумулята применяются для изображения как дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма–для изображения только интервальных рядов. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей)

Wi=mi/n, накопленных относительных частот Whi и найдем отношение Wi/h, заполнив таблицу 1. 4.

    Интервалы xi Wi Whi Wi/h Ai-bi
    1 2 3 4 5
    4, 97-5, 08 5, 03 0, 02 0. 02 0, 18
    5, 08-5, 19 5, 14 0, 03 0, 05 0, 27
    5, 19-5, 30 5, 25 0. 12 0, 17 1, 09
    5, 30-5, 41 5, 36 0, 19 0, 36 1, 73
    5, 41-5, 52 5, 47 0, 29 0, 65 2, 64
    5, 52-5, 63 5, 58 0, 18 0, 83 1, 64
    5, 63-5, 74 5, 69 0, 13 0, 96 1, 18
    5, 74-5, 85 5, 80 0, 04 1, 00 0, 36
    - 1, 00

Для построения гистограммы относительных частот (частостей) на оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wi данного i-го интервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi/h, . Следовательно, позади под гистограммой равна сумме всех носительных частот, т. е. единице. Из гистограммы можно получить полигон того же распределения. Если середины верхних оснований прямоугольников соединить отрезками прямой.

4* Сделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограммы и полигона, а также по значениям коэффициентов Ас и Ек.

    4 Анализ графиков и выводы

Страницы: 1, 2