Быстрый поиск

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции - (реферат)

p>Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:

    y= 0 , если x>0
    -р , если x    На чертеже изображен график
    данной функции
    Пример №2. Исследовать функцию

Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4). Т. к. , то получаем

    ,
    откуда:
    на сегменте [0; 1]
    Пример №3. Исследовать функцию

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

    Приняв во внимание равенство
    , если
    , если
    получим:
    y = 0 , если
    , если

Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x; и

Областью определения функции служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргументасодержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=р/6 имеем:
но при х=5р/6

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2р, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-р/2; 3р/2] величиной 2р.

Если значение х принадлежит сегменту [-р/2; р/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла. Если значение х принадлежит сегменту [р/2; 3р/2], то в этом случае дуга р-х принадлежит сегменту [-р/2; р/2]; и, так как

, то имеем y=р-х;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=р-х. Если значение х принадлежит сегменту [3р/2; 5р/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

    y=х-2р
    Если значение х принадлежит сегменту [-3р/2; -р/2], то
    y=-р-х
    Если значение х принадлежит сегменту [-5р/2; -3р/2], то
    y=х+2р
    Вообще, если , то
    y=х-2рk
    и если , то
    y=(р-х)+2рk

График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

    Рассмотрим функцию
    Согласно определению арккосинуса, имеем:
    cos y = cos x, где

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2р. Если значение Х принадлежит сегменту [0; р], то y = x. Если х принадлежит сегменту [р; 2р], то дуга 2р-х принадлежит сегменту [0; р] и, поэтому:

    Следовательно, на сегменте [р; 2р] имеем y = 2р - x
    Если х принадлежит сегменту [2р; 3р], то y = x - 2р
    Если х принадлежит сегменту [3р; 4р], то y = 4р – x
    Вообще, если , то y = x - 2рk
    Если же , то y = -x + рk
    Графиком функции является ломаная линия
    Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (......) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

    Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.
    Примеры.
    Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму
    Решение: эта сумма является суммой двух дуг б и в, где
    ;

В данном случае (т. к. , а следовательно, ), а также , поэтому . Вычислив синус дуги г, получим:

Т. к. сумма г заключена на сегменте [-р/2; р/2], то

Пример №2. Представить дугу г, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:

Откуда
Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга г оканчивается во второй четверти, т. к. , а . Вычисляем

В рассматриваемом примере , так как дуги г и заключены в различных интервалах, , а

В данном случае

Пример №4. Представить дугу г, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.

Решение: имеем

Обе дуги г и расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:

Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть б и в – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до р/2 (первая четверть): , и

Сумма б + в заключена в верхней полуокружности , следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т. е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

;
Разность б – в заключена в правой полуокружности:

Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:

;

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; р/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.

    Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.
    Преобразуем в арккосинус , где и
    Имеем:
    Откуда
    Аналогично
    , где 0 < x < 1, 0 < y < 1
    , где 0 < x < 1, 0 < y < 1
    Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.
    Выразить сумму через арксинус
    По определению арксинуса
    и ,
    откуда
    Для дуги г возможны следующие три случая:
    Случай 1:

Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1. В самом деле, при и , имеем:

, и ,
откуда

При x > 0, y > 0 для дуги г имеет место одна из следующих двух систем неравенств: а) б)

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

в случае а) и в случае б)

В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия и (соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив , получим:

При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т. е. или

Откуда
и, следовательно,

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств ;

но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому или

Случай 2.

В этом случае x > 0, y > 0, т. е. выполняется неравенство б); из условия получим Случай 3.

Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

откуда

Дуги г и имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) , следовательно в случае 1 ; в случае 2 и в случае 3 .

    Итак, имеем окончательно:
    , или
    ; x > 0, y > 0, и (1)
    ; x < 0, y < 0, и
    Пример:
    ;
    2. Заменив в (1) x на –x получим:
    , или
    ; x > 0, y > 0, и (2)
    ; x < 0, y < 0, и
    3. Выразить сумму через арккосинус
    и
    имеем
    Возможны следующие два случая.
    Случай 1: если , то

Приняв во внимание, что обе дуги и расположены в промежутке [0; р] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

    и следовательно, , откуда
    Случай 2: . Если , то
    ,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим . Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если , а случай 2, если .

    Из равенства следует, что дуги
    и имеют одинаковый косинус.
    В случае 1 , в случае 2 , следовательно,
    ,
    , (3)
    4. Аналогично
    ,
    , (4)
    пример:
    5.
    ; xy < 1
    ; x > 1, xy > 1 (5)
    ; x < 0, xy > 1
    При xy=1 не имеет смысла
    6.
    ; xy > -1
    ; x > 0, xy < -1 (6)
    ; x < 0, xy < -1
    7.
    ;
    ; (7)
    ;
    8.
    ; (8)
    ;
    9.
    ;
    ; x > 1 (9)
    ; x < -1
    10. (10)
    (11)
    , если (12)
    , если