Быстрый поиск

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Примеры

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции. Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.

    Решение: Рассмотрим 1-ю функцию
    y = arcsin(1/x)
    Д(f): | 1/x | ? 1 ,
    | x | ? 1 ,
    ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )
    Функция нечетная

( f(x) убывает на пр. [0; 1] , f(y) убывает на пр. [0; р/2] )

Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-р/2; р/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

    Д(f): ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )
    Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
    Решение:
    Д(f): [-1; 1]
    Четная
    f(x) убывает на пр. [0; 1]
    f(x) возрастает на пр. [-1; 0]
    Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
    Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2
    f(z) убывает на пр. [-1; 1] от р до 0.
    f(y) убывает на пр. [-1; 1] от р2 до 0.
    Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))
    Решение:
    Д(f): ( - ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? )

Т. к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках: [ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? )

    X
    0
    < x     1
    < x     +?
    u=1/(x2-1)
    -1
    ?
    + ?
    - ?
    ?
    0
    y=arctg(u)
    - р/4
    ?
    р/2
    - р/2
    ?
    0
    Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

    В силу определения аркфункций:
    sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x
    (справедливо только для x є [-1; 1] )
    tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x
    (справедливо при любых x )
    Графическое различие между функциями, заданными формулами:
    y=x и y=sin(arcsin(x))

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

    Аргумент
    функция
    arcsin(x)
    arccos(x)
    arctg(x)
    arcctg(x)
    sin
    sin(arcsin(x))=x
    cos
    x
    tg
    x
    1 / x
    ctg
    1 / x
    x

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

Т. к. cos2x + sin2x = 1 и ц = arcsin(x)

Перед радикалом следует взять знак “+”, т. к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный. Значит, имеем

Из тождества следует:
Имеем

Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.

Пример №1. Преобразовать выражение
Решение: Применяем формулу , имеем:

Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

    Пример №3. Пользуясь
    Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:
    Пример №5. Положив в формулах
    , и
    , получим:
    ,
    Пример №6. Преобразуем
    Положив в формуле ,
    Получим:

Перед радикалами взят знак “+”, т. к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная. Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода –соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

Соотношения второго рода –соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга б, заключенная в интервале (-р/2; р/2). Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дугаимеет синус, равный sinб и заключена, так же как и б, в интервале (-р/2; р/2), следовательно

Аналогично можно дугу б представить в виде арктангенса:

А если бы дуга б была заключена в интервале ( 0 ; р ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

Так, например:
Аналогично:

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

Выражение через арктангенс.
Пусть , тогда

Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-р/2; р/2). Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-р/2; р/2). Следовательно,

    (1)
    (в интервале ( -1 : 1 )
    Выражение через арксинус.
    Т. к. , то (2)
    в интервале

Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество (3)

Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т. п. ). Если аргумент какой-либо аркфункции (т. е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -р/2 до 0, либо промежутку от р/2 до р и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

Выражение арксинуса через арккосинус.
Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому

При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае , а для функции имеем:

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т. е. число неотрицательное. Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

Х>0 X

При отрицательных значениях Х имеем Х0, и

    Таким образом, имеем окончательно:
    если , (4)
    , если
    График функции

Область определения есть сегмент [-1; 1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:

    , если
    , если
    Аналогично установим, что при имеем:
    , если же , то
    Таким образом:
    , если (5)
    , если
    Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
    при имеем:
    Если же х    Итак,
    , если (6)
    , если
    Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то
    При имеем:
    Итак,
    , если (7)
    , если
    Выражение арктангенса через арккотангенс.
    , если х>0 (8)
    , если x    При x>0 равенство (8) легко установить; если же x    .
    Выражение арксинуса через арккотангенс.
    , если (9)
    , если
    Выражение арккотангенса через арксинус.
    , если 0    , если х    Выражение арккотангенса через арктангенс.
    , если x>0 (11)
    , если x    Примеры:
    Пример №1. Исследовать функцию