Математическое моделирование системных элементов - (реферат)
p>Случай 2. Пусть значения показателей прочности и сцепленности равны, т. е. = . В этом случае показатель целостности = 1. Тогда элемент по сво им целостным свойствам находится на грани устойчивости. Такой уровень целостности элемента определим как аддитивная целостность.Случай 3. Наконец, пусть значения показателя прочности элемента ниже значений показателя сцепленности элемента с его средой . В рассматривае мом случае условия записываются в виде < и < 1. При этом элемент по сво им целостным свойствам не устойчив к интегральному вовлечению (растворению) в окружающей среде. Рассматриваемый уровень целостности элемента определим как субаддитивная целостность.
Таким образом, введенный показатель может использоваться как критерий оценки качества целостных свойств элемента , а также для сравнения раэличных элементов (n = 1, 2, .... , N) по критерию целостности.
2. 4. Метод концептуального метамоделирования
Концептуальное метамоделирование ( КММ ) основано на использовании индук тивно-дедуктивного подхода. Создание КММ осуществляется на основе индуктивного подхода ( от конкретного к абстрактному, от частного к общему ) посредством обобще
ния, концептуализации и формализации.
Использование КММ предполагает переходы от общего к частному, от абстракт ного к конкретному на основе интерпретаций.
КММ функционирования системного элемента предполагает описание динами ки поведения на заданном уровне абстракции с точки зрения его взаимодействия с окру
жающей средой, т. е. внешнего поведения. Математическое описание такого элемента должно отражать последовательность причинно-следственных связей типа "вход вы
ход" с заданной временной направленностью из прошлого в будущее. КММ функциони рования системного элемента должна учитывать базовые концепции и существенные факторы, к числу которых, в первую очередь, следует отнести следующие.
1. Элемент , как компонент системы , связан и взаимодействует с другими компонентами этой системы.
2. Компоненты системы воздействуют на элемент посредст
вом входных сигналов, в общем случае, обозначаемых векторным множеством .
3. Элемент может выдавать в окружающую его среду выходные сигна-лы, обозначаемые векторным множеством .
4. Функционирование системного элемента ( ) происходит во време ни с заданной временной направленностью от прошлого к будущему: где
5. Процесс функционирования элемента представляется в форме отображения входного векторного множества в выходное - , т. е. по схеме "вход - выход" и представляется записью вида .
6. Структура и свойства отображения при моделировании на основе метода прямых аналогий определяется внутренними свойствами элемента, во всех остальных случаях - инвариантны и связаны феноменологически.
7. Совокупность существенных внутренних свойств элемента , представ-ляется в модели "срезом" их значений для фиксированного момента времени, при
условии фиксированного "среза" значений входных воздействий и опреде ляется как внутреннее состояние элемента .
8. Внутренние свойства элемента характеризуются вектором параметров , которые назовем функциональными ( j - параметры ).
Концептуальное математическое описание системного элемента ( ) с учетом изложенных выше положений, представим кортежем
. ( 1 )
Такое описание определим как концептуальную метамодель - КММ функционирования системного элемента.
2. 5. Стратифицированный анализ и описание КММ системного элемента Концептуальные метамодели элемента, основанные на записи ( 1 ), могут образо вывать некоторые иерархии. Уровни таких иерархий определяются степенью ( этапами ) конкретизации свойств элемента. Ранжирование КММ ( 1 ) по шкале "Абстрактное - Конкретное" на основе метода стратификации, следовательно, приводит к иерархичес
кой дедуктивной системе концептуальных метамоделей. Такая система может быть ис
пользована для математического моделирования конкретных элементов как некоторый исходный базовый инвариант, интерпретируемый в конкретную математическую мо дель.
В зависимости от степени конкретизации, сформируем дедуктивную систему, вклю-чающую следующие уровни КММ элемента:
КММ элемента на теоретико-системном уровне ( ТСУ );
КММ элемента на уровне непараметрической статики ( УНС );
КММ элемента на уровне параметрической статики ( УПС );
КММ элемента на уровне непараметрической динамики ( УНД ); КММ элемента на уровне параметрической динамики ( УПД ).
Рассмотрим более подробно КММ на каждом из перечисленных уровней.
КММ теоретико-системного уровня
Наиболее общую и абстрактную форму описания функционирования системного элемента дает концептуальная метамодель теоретико-системного уровня ( ТСУ ). Это описание включает векторное множество входных воздействий на элемент
и векторное множество выходных реакций ( откликов ) элемента
.
Кроме того, на рассматриваемом уровне абстракции учитывается факт связности век
торного множества с соответствующим векторным множеством посредством отображения "j". Однако, отображение "j" не указывает каким образом рассматривае мые множества связаны.
Таким образом, КММ теоретико-системного уровня задаются тройкой
. ( 2 )
КММ уровня непараметрической статики
Второй уровень представления КММ включает в рассмотрение отображение , определяющее правила преобразования входов в выходы , т. е. что необходимо сделать, чтобы при условии получить , адекватное целевому функционированию элемента . В общем случае - отображение может быть представлено скалярной или векторной функцией, а также функционалом или оператором. Концептуальная метамо
дель уровня непараметрической статики, следовательно, представляется кортежем вида
. ( 3 )
Раскрытие структуры преобразования вида является основной задачей КММ уровня . Рассмотрим в качестве иллюстрации функциональное описание элемента , представленное скалярной функцией , причем: . Функционирование элемента ( ) на УНС описывается как отобра жение . Это отображение называется функцией, если оно однозначно. Ус ловия однозначности определяются следующим образом. Пусть заданы пары значений сигналов "вход - выход":
( 4 )
Если из условия ( ), следует, что ( ), то отображе
ние однозначно. Значение величины в любой из пар называется функ цией от данного . Общий вид записи функции позволяет дать формальное определение функции элемента в скалярной форме представления
( 5 )
Таким образом, КММ ( 3 ) проинтерпретирована в КММ того же уровня, но в скаляр ной форме функционального представления. Отметим, что богатство концептуальных метамоделей функционирования системного элемента ( ) на уровне непараметрической статики определяется многообразием ее интерпретаций на матема
тическом, логическом или логико-математическом языках описания ( представления )
- отображения.
КММ уровни параметрической статики
Дальнейшая конкретизация КММ функционирования системного элемента осуществляется за счет включения в рассмотрение функциональных параметров , определяющих статические режимы. Для элемента рассматриваются три группы параметров ( 6 )
где - совокупность параметров { } входных воздействий
- совокупность параметров { } выходных реакций ( откликов ) - совокупность параметров { } отображения .
Перечни ( номенклатура ) параметров и их значений определяются для каждого ти па конкретной модели . Для - отображения, по аналогии со структурными моде- лями, вводится понятие конфигурации. С учетом параметрического описания и интер
претаций КММ задается четверкой
( 7 )
КММ уровня непараметрической динамики
Следующий, четвертый уровень конкретизации КММ функционирования систем ного элемента определяется учетом в модели его динамических свойств. Динамика элемента рассматривается в нескольких аспектах. Первый аспект характеризуется реакцией элемента на динамику изменения входных воздействий
при неизменном отображении , т. е. когда - скалярная или векторная функция. Второй аспект определяется реакцией элемента на входные ( статические или ди
намические ) воздействия при времязависимом отображении , т. е. когда функционал или оператор, зависящий от времени .
При изложенных условиях КММ рассматриваемого уровня абстракции представ ляется кортежем, включающем следующие четыре компоненты
( 8 )
Отметим, что на данном уровне представления КММ время указывает на факт наличия динамических свойств, но не характеризует их конкретно.
КММ уровня параметрической динамики
Последний - пятый уровень дедуктивного представления КММ функционирова ния системного элемента , определяемый как уровень параметрической динамики, включает все рассмотренные ранее аспекты модели, представляемые кортежем ( 1 )
.
В КММ рассматриваемого уровня выполняются условия концептуальной полноты представления функциональных свойств элемента. Интерпретация та- кой модели на семантическом, синтаксическом, качественном и количественном уров
нях дает возможность порождать ( генерировать ) любые конкретные математические модели функционирования системного элемента.
Отметим, что выражения ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 7 ) и ( 8 ) могут быть представлены в форме традиционных аналитических зависимостей вида
( 9 )
Выводы
Таким образом, концептуальное метамоделирование функционирования систем ного элемента на основе дедуктивного подхода приводит к пятиуровневой иерархии моделей, представленной на рис...
Практическое использование представленных выше КММ для моделирования функций системных элементовосуществляется посредством их ретрансляции в тер-минах выбранного математического языка и последующей интерпретации на четырех перечисленных выше уровнях конкретизации.
