Математический анализ - (реферат)
p>[f(х)-kx]=b, т. е. ,если хотя бы один из пределов не сущ. ,тоас-ты нет.
_ 2Исследование поведения ф-ции в окр. точки
_ 2разрыва. Классификация точек разрыва:
20: ТОЧКА УСТРАНИМОГО РАЗРЫВА- 0точка, в которой ф-ция имеет предел, но не является непрерывной.
21: ТОЧКА РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА- 0точка, в которой ф-ция имеет предел слева, имеет предел справа, но эти пределы не равны.
22: ТОЧКА РАЗРЫВА ВТОРОГО РОДА 0-точка, которая не является
точкой устранимого разрыва и точкой разрыва первого рода.
2§6 _ ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА НЕПРЕРЫВНЫХ Ф-ЦИЙ.
2ЛОКАЛЬНЫЕ СВ-ВА 0-св-ва ф-ции непрерывных в данной точке, т. к. непрер. ф-ция имеет предел, то все св-ва таких ф-ций,
имеющих предел, распространяются на непрерывные.
2Свойства: 0если f(х) непрер. в т. Хо и f(Хо)>0, то ф-я больше нуля в некоторой окр. т. Хо или; если f(х) и f(х) непрер.
в т. Хо, то их сумма тоже непрер. в этой точке.
2ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА:
Ф-ция f(х) называется 2 непрерывной на отр. [a; b] 0, если она непрерыв. в каждой точке интервала (a; b) и непрерывна в
т. А справа и в т. В слева.
lim f(x)=f(a), lim f(x)=f(b)
2ТЕОРЕМЫ КОШИ:
2Теорема#1: 0Если ф-ция f(х) непр. на отр. [a; b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков (f(а)*f(b)
то сущ. точка С на отр. [a; b], такая что f(С)=0.
2Теорема#2: 0Если ф-ция непр. на отр. [a; b] и на концах отр. принимает разные значения (f(a)=f(b)), то тогда для любого
числа Q, лежащего между f(а) и f(b), сущ. т. С, принадлеж. отр.
[a; b], такая что f(С)=Q.
2ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА:
2Теорема#1: 0Если ф-ция f(х) непр. на отр. [a; b], то сущ.
числа m ограничена)
2Теорема#2: 0Если ф-ция f(х) непр. на отр. [a; b], то сущ.
точки x и x [a; b], такие что f(x ) точке этого отрезка.
_ 2ГЛАВА#2: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
2§1. _ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ И . 0 _ 2СВ-ВА.
- 5
Отрезок AB называется 2направленным 0, если указана, какая из точек A и B явл. началом, а какая концом.
Два направленных отрезка называются 2равными 0, если они лежат на одной или на параллельных прямых, со-направлены и имеют
одинаковые длины, т. е. если один получается из другого парал. переносом.
2Вектором 0 называется направленный отрезок.
Векторы называются 2коллинеарными 0, если они лежат на одной прямой или на парал. прямых.
Векторы называются 2компланарными 0, если они лежат в одной или парал. пл-тях.
2Суммой векторов a и b 0называется вектор, обозначенный a+b, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец -с концом b, при условии, что начало вектора b совмещено с концом а.
2Произведением а на число 0называется вектор, обозначенный а, такой что:
1. ¦ a¦=¦ ¦*¦a¦
a=0, если =0
2. দа
দа, если >0
দа, если 2СВ-ВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ:
21. Коммутативность:
Для любых а и b: а+b=b+a
2замечание: 0отсюда следует, что сумму векторов а и b можно строить как диагональ параллелограмма, построенных на векторах а и b, причем начало всех трех векторов совмещены.
22. Ассоциативность:
Для любых а, b и с: (а+b)+с=а+(b+с)
2замечание: 0отсюда следует, что чтобы сложить векторы а , а , ...., а нужно сложить из них ломанную, совмещая начало последущего вектора с концом предыдущего, тогда их сумма -замыкающая.
3. Существует вектор, называемый 2нуль-вектор 0, такой что для всех а: а+0=а.
4. Для любого а сущ. вектор, называемый 2противоположным 0, обознач. -а, такой что а+(-а)=0
5. Для всех а: 1*а=а
6. Для любого а и любых чисел и : ( * )*а= ( а)= ( а)
7. Для любого а и любых чисел и : ( + )*а= а+ а
8. Для любых а и b и любого числа : *(а+b)= а+ b
2Разностью векторов а и b 0 называется вектор (а+(-b))
Если даны векторы а , а , ...., а и числа , , ...., , то вектор а + а +.... + а -называется 2линейной комбинацией векторов а , а , ...., а с коэффициентами , , ...., .
Множество, для элементов которого определены операции (сложения и умножения на число), для которых справедливы выше восемь св-в (аксиом) называется 2линейным пространством.
2§2. _Понятие линейной зависимости, размерности, базиса и координации.
- 6
Система векторов а , а , ...., а называется 2линейно зависимой 0, если хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация остальных векторов этой системы.
ИЛИ
Для того, чтобы система векторов а , а , ...., а была 2линейно зависи 2мой 0 необходимо и достаточно, чтобы существовали числа , , ...., , не равные 0, такие что линейная комбинация а + а +.... + а равнялась нуль-вектору.
Система векторов называется 2линейно не зависимой 0, если она не яв ляется линейно зависимой, т. е. ни один вектор этой системы не яв ляется линейной комбинацией остальных и равенство 0 линейной ком бинации векторов этой системы возможно только в том случае, когда все коэффициенты равны 0.
2Размерностью линейного пространства 0 называется максимальное число линейно не зависимых векторов.
2Базисом 0называется линейно независимая система векторов, такая, при которой любой вектор, принадлежащий этому пространству, может быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы. 2Теорема единственности:
Если задан базис е , е , е , то разложение любого вектора а по этому базису единственно:
а= е + е + е
Если дан базис е , е , е , то коэффициенты разложения вектора по этому базису называются 2 координатами 0.
а=( , , )
2замечание: 0у одного и того же вектора в разных базисах разные координаты.
2Условие коллинеарности:
/ = / = /
2замечание: 0если в одной из дробей в знаменателе 0, то равенство нужно понимать так, что в числителе тоже 0.
2Каноническое ур-е прямой:
x x /m=y-y /p=z-z /q
2§3. _ПОНЯТИЯ ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ, СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ. _ 2СВ-ВА ПРОЕКЦИИ И СКАЛЯР. ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ПРИЛОЖЕНИЕ.
2Углом 0 между двумя векторами (отличными от 0) называется наименьший угол между двумя лучами, проведенные из одной точки пространства в направлениях этих векторов.
2Численной проекцией 0 вектора а на вектор b (b=0) называется число равное произведению модуля а на cos угла между ними.
Пр а=¦а¦*cos a, b
2Св-ва: 0 Пр (а+b)=Пр а+Пр b
Пр (ka)=kПр а
2Проекцией вектора на ось 0 называется длина отрезка АВ между основаниями перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось. 2Радиус-вектором 0 точки пространства называется вектор, идущий в эту точку из некоторой фиксированной точки, наз. полюсом.
Скалярным произведением 0 а и b называется число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними.
2CВ-ВА:
1. условие перпендикулярности векторов: (а, b)=0 а 2_ 0b
2. коммутативность: (а, b)=(b, а)
3. билинейность:
3. 1: (а +а ; b)=(а , b)+(а , b)
(а, b +b )=(а, b )+(а, b )
3. 2: ( а, b)=(а, b)= (а, b)
2Правило: 0Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
(а, b)=x x +y y +z z
2Приложения:
- 7
1. ¦а¦= (а, а) = x +y +z , если а=(x, y, z)
2. (а, b)=0а 2_ 0b
3. cos а, b=(а, b)/¦а¦¦b¦
4. Пр а=(а, b)/¦b¦
2Направляющими косинусами углов 0 называются cos углов, которые вектор образует с векторами базиса i, j, k.
cos =x/¦a¦
cos =y/¦a¦
cos =z/¦a¦
cos +cos +cos =1, т. к. (x +y +z )/¦a¦=1.
§4. _ 2ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВ-ВА.
2Матрицей порядка m*n 0 называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
2Квадратной матрицей n-порядка 0 называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n.
Каждой кв. матрице ставится в соответствие число называемое
2определителем матрицы.
2Определителем кв. матрицы n-порядка 0 называется число равное алгебраической сумме всевозможных произведений n-элементов
матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем перед каждым произведением по определенному правилу
ставится знак "+" или "-".
2Алгебраической суммой 0 называется сумма, в которой где-то ставится "+", а где-то "-".
Элементы матрицы, у которых No строки совпадает с No столбца образуют 2 главную диагональ матрицы.
