Математический анализ - (реферат)
Математический анализ - (реферат)
Дата добавления: март 2006г.
_ 2ГЛАВА#1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
§ 21 _ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ, БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО, ПРЕДЕЛА,
_ 2НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ.
2ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо 0 называется любой интервал, содержащий эту точку.
2ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т. Хо 0 называется окрестность т. Хо, из которой выброшена сама точка.
2ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ 0называется любой полу
бесконечный промежуток вида (а; + ).
ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ 0называется любой полу
бесконечный промежуток вида (- ; b).
2ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ 0 называется объединение двух
любых окрестностей + и - 2 0 .
Функция f(х) называется 2 бесконечно малой 0 в окрестности
т. Хо, если для любого числа >0 существует проколотая
окр. т. Хо такая, что для любого числа Х, принадлежащего
прокол. окр. т. Хо выполняется неравенство ¦f(х)¦< .
>0 U U => ¦f(x)¦
Число 2 А 0 называется 2 пределом 0 ф-ции f(х) в т. Хо, если
в некоторой прок. окр. этой точки ф-цию f(х) можно
представить в виде f(х)=А+ (х), где (х)-бесконечно
малое в окрестности т. Хо.
limf(x)=А
Ф-ция f(х) называется 2 непрерывной 0 в т. Хо, если в некоторой окр. т. Хо эту ф-цию можно представить в виде: f(х)=f(х )+ (х), где (х)-б. м. в окр. т. Хо.
Иными словами, f(х)-непрерывна в т. Хо, если она в этой точке
имеет предел и он равен значению ф-ции.
2ТЕОРЕМА: 0Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке области определения.
2Схема 0: 1. ф-я элементарна
2. определена
3. непрерывна
4. предел равен значению ф-ции
5. значение ф-ции равно 0
6. можно представить в виде б. м.
2СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ:
2Теорема#1: 0Единственная константа, явл-ся б. м. -0
2Теорема#2: 0Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо, то их
сумма тоже б. м. в этой окр.
Ф-ция f(х) называется 2 ограниченной 0 в окр. т. Хо, если сущ. проколотая окр. т. Хо и сущ. число М>0, такие что ¦f(х)¦
в каждой точке прок. окр. т. Хо.
U M>0: ¦f(x)¦
2Теорема#3: 0Если (х) -б. м. в окр. т. Хо, то она ограничена
в этой окр.
2Теорема#4: О произведении б. м. на ограниченную:
Если ф-ция (х) -б. м. ,а f(х) -ограниченная в окр. т. Хо, то
(х)*f(х) -б. м. в окр. т. Хо.
2Теорема#5: О промежуточной б. м. :
Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо и (х)< (х)< (х)
- 2
в окр. т. Хо U , то (х) -б. м. в окр. т. Хо.
Две б. м. называются 2 сравнимыми 0, если существует предел их отношения.
Б. м. (х) и (х) в окр. т. Хо называются 2 одного порядка 0,
если предел их отношений есть число не равное 0.
Две б. м. в окр. т. Хо называются 2 эквивалентными 0, если
предел их отношения равен 1.
2Теорема#1: 0Если и -эквивалентные б. м. ,то их разность есть б. м. более высокого порядка, чем и чем .
2Теорема#2: 0Если разность двух б. м. есть б. м. более высокого порядка, чем и чем , то и есть эквивалентные б. м.
2Таблица основных эквивалентов б. м. :
Х_0
sinх х
е-1 х
ln(1+х) х
(1+х) -1 х
2Асимптотические представления:
Х_0
sinx=x+0(x)
e =1+x+0(x)
ln(1+x)=х+0(x)
(1+x) =1+ x+0(x)
2Св-во экв. б. м. :
Если 2 0 (х) и 2 0 (х) -экв. б. м. в окр. т. Хо, а 2 0 (х) и 2 0 (х) -экв. б. м. в окр. т. Хо и сущ. lim =А, то тогда сущ. lim и он равен А.
§ 22 _БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА.
Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо и lim =0, то (х)
называется 2бесконечно малой более высокого порядка, 0чем (х). (х)=о( (х)).
2Замечание: 0Если (х)-более высокого порядка, чем (х),
то (х)=о(k (х)), k=0
2Теорема БЕЗУ: 0Если -корень многочлена, то многночлен
делится без остатка на (х- ).
§ 23 _ОСНОВНЫЕ СВ-ВА Ф-ЦИЙ, ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ.
2ЛЕММА об оценке ф-ции, имеющей предел отличный от нуля:
Если предел ф-ции f(х) в т. Хо равен А и А>0, то
А/2 2Замечание: 0Если предел А 2ТЕОРЕМА#1. Необходимое условие ограничиности ф-ции,
2имеющей предел:
Если ф-ция f(х) имеет в точке предел, то она ограничена
в окрестности этой точки.
2ТЕОРЕМА#2. Арифметические операции над ф-циями,
2имеющих предел.
Если f(х) и f(х) имеют предел в т. Хо:
lim f(х)=А
lim f(х)=B, то
тогда 1. сущ. предел их суммы и он равен сумме пределов.
2. сущ. предел их произведения и он равен
произведению пределов.
3. если В=0, то сущ. предел отношения и он равен
отношению пределов.
- 3
2ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С НЕРАВЕНСТВАМИ:
2Т. 1: 0Если ф-ция f(х), имеющая предел в т. Хо, больше 0,
то f(х)>0 в прокол. окр. т. Хо.
Наоборот, если f(х), имеющая предел в т. Хо, меньше 0,
то f(х) 2Т. 2: 0Если ф-ция f(х) имеет предел в т. Хо и f(х)>0 в
некоторой прокол. окр. т. Хо, то и предел f(х)>0 в т. Хо.
2Т. 3: 0Если ф-ции f(х) и f(х) имеют предел в т. Хо:
lim f(х)=А
lim f(х)=В и
f(х) пределы А 2Т. 4 о пределе промежуточной ф-ции:
Если ф-ции f(х) и f(х) имеют один и тот же предел
А в т. Хо и ф-ция f(х) окр. т. Хо, то тогда сущ. предел f(х) и он равен А.
2ТЕОРЕМА о переходе к пределу под знаком непрерывной
2ф-ции:
Если ф-ция f(u) непрерывна в т. Uо, а ф-ция u= (х) имеет
предел в т. Хо, и предел ф-ции (х) равен Uо, то тогда
сложная ф-ция f[ (х)] имеет предел в т. Хо и этот предел
равен f(Uо), т. е. предел f[ (х)] равен значению ф-ции
от предела . f[ (х)]=flim (х).
2§4 _О ПРЕДЕЛАХ СВЯЗАННЫХ С ЧИСЛОМ e.
2ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ 0 называется ф-ция, область
определения которой -натуральные числа.
Формула 2 НЬЮТОНА-бинома:
2(a+b)= с a b
2c=n! /k! (n-k)!
2c 0 2- 0кол-во сочетаний из n по k.
2n! =1*2*3*.... *n
2СОЧЕТАНИЯМИ 0 называются всевозможные подмножества данного множества, в частности рассматривают сочетания множества
из n-элементов по k-элементов.
2Замечание: 0! =1
2Таблица биномиальных коэффициентов:
2n=1 1 1
2n=2 1 2 1
2n=3 1 3 3 1
2n=4 1 4 6 4 1
2n=5 1 5 10 10 5 1
2n=6 1 6 15 20 15 6 1
lim(1+x) =e
2§5 _ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ Ф-ЦИИ. ПОВЕДЕНИЕ Ф-ЦИИ В
_ 2БЕСКОНЕЧНОСТИ. АСИМТОТЫ.
Ф-ция f(х) называется 2 бесконечно большой 0 в окр. т. Хо, если 1/f(х) будет б. м.
_ 2Асимтоты:
Прямая Т называется 2 асимтотой 0 кривой L, если растояние от т. М, лежащей на кривой L, до прямой Т стремится к 0, когда
- 4
т. М по кривой удаляется в бесконечность, т. е. когда
растояние от т. М до фиксированной т. О стремится в беско
нечность.
_ 2Асимтоты графиков ф-ции:
2Теорема#1: 0Для того, чтобы прямая kx+b была асимтотой при х_+ , необходимо и достаточно, чтобы f(х)=kx+b+ (х) при
х_+ .
2Теорема#2: 0Для того, чтобы прямая y=kx+b была ас-той гр-ка ф-ции f(х) при х_+ , необходимо и достаточно существование
предела при х_+ f(х)/х=k и сущ. предела при х_+
