Быстрый поиск

Математическая статистика - (лекции)

p>Если мы в результате эксперимента получили сумму гербов S = 1, то вероятность наблюдать такую сумму (и менее вероятное значение S=0) составляет для симметричной монетки P(S 6) = (1+8) / 256 @ 0. 036. Осталось построить решающее правило –критерий для принятия окончательного решения в отношении выдвинутых гипотез (основнойЊ0 и альтернативной Њ1).

Заметим, что при выдвинутой нами основной гипотезе Њ0: (p=q) альтернативную гипотезу можно выдвигать по разному: Њ1: (p#q) –монета несимметрична, ненаправленная гипотеза, требующая использования двухсторонних вероятностей;

Њ1: (p

Применим оба приема построения критерия в условиях нашего примера. · Нулевая гипотеза Њ0: (p=q). Альтернативная гипотеза Њ1: (p#q). Уровень значимости a=0. 05. Итог наблюдений при N=8: S= 1 . Вероятность такого итога при условии, что нулевая гипотеза верна составляет P(S6) @ 0. 072, т. е. больше порогового значения

Решение: нулевую гипотезу не отвергаем, монетку считаем симметричной.

· Нулевая гипотеза Њ0: (p=q). Альтернативная гипотеза Њ1: (p

На самом деле всё правильно и обосновано – смысл нулевых гипотез Њ0 в первом и втором случае, несмотря на формальную тождественность, не одинакова. Суть дела заключена в формулировке альтернативных гипотезЊ1. В первом случае Њ1 охватывает два события (p>q) или (p
Ошибки при проверке статистических гипотез

Выбирая окончательно в качестве рабочей одну из гипотез –нулевую или альтернативную, мы используем следующую логическую схему (алгоритм):

Не забудем, что отвергая Њ0, мы принимаем альтернативную Њ1и наоборот. Пусть у нас уже есть правило, в соответствии с которым мы либо принимаем основную гипотезуЊ0, либо отвергаем её.

Как уже говорилось, контрольной цифрой является уровень значимости – вероятность a наблюдать то, что мы имеем после эксперимента, в случае если гипотеза Њ0 верна. Пусть, к примеру, мы знаем вероятность данного наблюдения при истинности основной гипотезы и она равна0. 04. Мы вправе принять эту гипотезу – вероятность ошибиться меньше, чем a=0. 05. Конечно, приняв нулевую гипотезу, мы рискуем ошибиться. Степень риска можно найти очень просто–вероятность отбросить верную нулевую гипотезу (совершить ошибку первого рода илиa–ошибку) составляет 5 %.

Но ведь можно совершить и другую ошибку –принять нулевую гипотезу, когда она на самом деле неверна (ошибка второго рода илиb–ошибка). Величина эта зависит, прежде всего, от решающего правила – критерия принятия гипотез. Поэтому величину (1 –b) принято называть мощностью критерия. С определением вероятности ошибки второго рода дело обстоит не так просто –ее приходится вычислять. В первом приближении можно считать, что нам одинаково “вредны” ошибки как первого, так и второго рода. Более актуальным является вопрос –а как их избежать или хотя бы снизить вероятность их появления? К сожалению, в задачи курса не входит рассмотрение таких вопросов.

Достаточно знать, что в прикладной статистике существуют методы повышения эффективности критериев проверки статистических гипотез.

Кроме того, нельзя упускать из виду и "простой рецепт" снижения вероятностей ошибок как первого, так и второго рода– надо иметь побольше наблюдений. Так, например, имеются достаточно надежные методы определения так называемых “критических” значений СВ. Эти значения для задач рассмотренных выше типов (с биномиальным распределением вероятностей) позволяют сразу же оценить возможность отбрасывания нулевой гипотезы– по данным о числе испытаний и числе наблюдений данного события. Если число испытаний монетки на симметрию составляет N=12 и выдвинуты гипотезы Њ0: (p=q); Њ1: (p#q), то критическими значениями наблюдений при граничной вероятности a=0. 05 являются S=2 и S=10. Это означает, что при наблюдаемом числе гербов Ј 2 или і 10 нулевая гипотеза может быть отвергнута. Обратим также внимание на явную зависимость наших решений от числа наблюдений –нам не удалось отвергнуть гипотезу о симметрии монетки при всего одном гербе (из восьми бросаний), но вполне обосновано удается сделать это при 0, 1 и даже 2–при увеличении числа наблюдении или, на языке статистики, увеличении объема выборки.

Выборочные распределения на шкалах Int и Rel
Оценка наблюдений при неизвестном законе распределения

Какова цель наблюдений над случайной величиной; для чего используются результаты наблюдений; где, как и для чего применить возможности теории вероятностей и прикладной статистики? Ответы на эти, простые с виду, вопросы зависят от многих факторов, обстоятельств и не всегда оказываются конкретными. Попытаемся всё же сформулировать ответ применительно к конкретной обстановке – при статистических расчетах в экономических системах. В таких системах основные числовые показатели “жизни” системы в целом и отдельных её элементов можно свести к трем разновидностям:

· продукция, с конкретными ее показателями (вес, объем, количество и т. д. ), – величинами на шкале Int или Rel; · деньги, с единицей измерения по шкале Int или Rel (отрицательные величины обычно означают убытки или долги); · информация, с несколькими шкалами измерений – в битах (байтах) для количественного описания по шкале Int или в виде сообщений о событиях на шкалах Nom или Ord. Простые размышления приводят к мысли о возможности допустить, что все эти величины являются, во-первых, случайными и, во-вторых, дискретными. Ясно также, что без учета всех этих величин эффективной экономики быть не может– только знание всех этих показателей позволит управлять экономикой. Конечно, у многих из вас уже готово решение проблемы – раз уж мы не знаем точно значение величины (скажем –суммы прибыли), так воспользуемся её математическим ожиданием! Это верная мысль…

Но для вычисления математического ожидания надо знать закон распределения вероятностей, т. е. иметь информацию

· обо всех допустимых (возможных) значениях прибыли;
· о соответствующих им значениях вероятностей.

Рассмотрим простейший пример. Пусть у нас есть всего четыре наблюдения над суммойG дневной выручки в 196, 208, 210 и 214 гривен. Легко подсчитать среднее значение – оно составит 207гривен. Какое доверие к этой цифре? Ведь мы совершенно ничего не знаем о законе распределения СВ, кроме того, что эта величина дискретная и имеет относительную шкалу. Тем не менее, кое–что полезное из таких скудных наблюдений (малой выборки) можно извлечь. Поступим следующим образом – вместо случайной величины G будем рассматривать другую величину U= (G–M(G)). Математическое ожидание новой СВ будет всегда равно нулю – какие бы гипотезы о значении M(G) мы ни выдвигали, Теперь подумаем о том, как сформулировать нулевую гипотезу. Вроде бы это надо делать так:

Теперь результаты наблюдений над выручкой G можно представить в виде четырех наблюдений над U: –11, +1, +3, +7. Теория математической статистики предлагает следующий, т. н. биномиальный критерий проверки гипотез в подобных ситуациях. Предполагается, что распределение вероятностей наблюдаемой величины Uсимметрично относительно значения математического ожидания, т. е. относительно нуля.

Далее предлагается рассматривать N имеющихся у нас значений U как совокупность случайных величин, принимающих с вероятностью 0. 5значения по итогам наблюдения или противоположные им по знаку. В нашем примере это приводит к

P(U1=11)=P(U1= –11)= 1/ 2; P(U2=1)=P(U2= –1)= 1/ 2;
P(U3=3)=P(U3= –3)= 1/ 2; P(U4=7)=P(U4= –7)= 1/ 2;

Теперь рассматривается сумма этих случайных величин S – она может принимать 2N различных значений, с одинаковой вероятностью 1/2N. Таблица 5-1

    U1
    11
    11
    11
    11
    11
    11
    11
    11
    -11
    -11
    -11
    -11
    -11
    -11
    -11
    -11
    U2
    1
    1
    1
    1
    -1
    -1
    -1
    -1
    1
    1
    1
    1
    -1
    -1
    -1
    -1
    U3
    3
    3
    -3
    -3
    3
    3
    -3
    -3
    3
    3
    -3
    -3
    3
    3
    -3
    -3
    U4
    -7
    7
    7
    -7
    7
    -7
    7
    -7
    7
    -7
    7
    -7
    7
    -7
    7
    -7
    S
    8
    22
    16
    2
    20
    6
    14
    0
    0
    -14
    -6
    -20
    -2
    -16
    -8
    -22