Быстрый поиск

Математическая статистика - (лекции)

p>Заметим, что полная сумма рангов составляет 84, что дает в среднем по 14 на фактор. Для общего случаяn факторов и mэкспертов среднее значение суммы рангов для любого фактора определится выражением

D 0. 5·m·(n+1) {7–2}

Теперь можно оценить степень согласованности мнений экспертов по отношению к шести факторам. Для каждого из факторов наблюдается отклонение суммы рангов, указанных экспертами, от среднего значения такой суммы.

Поскольку сумма этих отклонений всегда равна нулю, для их усреднения разумно использовать квадраты значений. В нашем случае сумма таких квадратов составит S= 64, а в общем случае эта сумма будет наибольшей только при полном совпадении мнений всех экспертов по отношению ко всем факторам:

Smax m2 · (n3– n) / 12{7 –3} что в нашем примере дает 280. М. Кэндаллом предложен показатель согласованности или коэффициент конкордации, определяемый как

W = S / Smax{7–4} принимающий, в отличие от обычных (парных) коэффициентов ранговой корреляции, значения от1 (при наибольшей согласованности) до 0.

В нашем примере значение коэффициента конкордации составляет около 0. 23 и явно недостаточно для принятия гипотезы о согласованности мнений экспертов. Существуют специальные таблицы, позволяющие отыскивать значения сумм S, настолько близких к Smax , что вероятность ошибки при принятии гипотезы о полной согласованности мнений экспертов не превосходит 5%. Вот одна из таких таблиц с критическими (достаточными) значениями сумм квадратов отклонений ранговS для n=3…7 факторов при m= 3…15 экспертов. m \ n

    3
    4
    5
    6
    7
    3
    –
    –
    64
    104
    157
    4
    –
    50
    88
    143
    217
    5
    –
    63
    112
    182
    276
    6
    –
    76
    136
    221
    335
    8
    48
    102
    184
    299
    453
    10
    60
    128
    231
    377
    571
    15
    90
    193
    350
    571
    865

Для нашего примера указанная вероятность соответствует сумме квадратов отклоненийS= 143, что намного больше наблюдаемой суммы 64. Поэтому гипотезу о согласованности мнений экспертов придется отбросить.

Материал семинарских занятий
Введение в комбинаторику

При изучении курса математической статистики приходится использовать методы одного из разделов математики, который хотя формально и не относится к высшей, вузовской математике, но, к сожалению, не изучается в средней школе. Этот раздел –комбинаторика, “наука о способах подсчета вариантов”. Эта наука имеет тот же, примерно 300 летний возраст, что и сама статистика. Комбинаторика–сверстница теории вероятностей, теоретического фундамента прикладной статистики. Как и в древней, в современной статистике невозможно обойтись без навыков просчитывать в уме или, по крайней мере, быстро, по простым формулам, варианты событий, размещений предметов, значений величин и т. п. Замечание о расчетах в уме сделано не случайно. Знание основ комбинаторики позволит хотя бы оценивать числа вариантов и соотношения между ними также “профессионально” как и делаете это вы, оценивая возраст встреченного человека.

В этом плане комбинаторику можно называть “логикой вариантов” и это будет вполне резонно– в этой науке больше чистой логики, чем математики. Для демонстрации необходимости знаний комбинаторики и в качестве первой практической задачи рассмотрим несколько простых, практических вопросов. ·Вам, очевидно, известно, что внутренний, “машинный” язык компьютера люди построили по образу и подобия человеческого языка: буквы, слова, предложения. Обстоятельства надежности записи и чтения на этом языке привели к решению сделать компьютерный язык предельно бедным. В нем всего две буквы (“0” и “1”, “+ " и “–”, “да” и “нет”, –в зависимости от физического процесса записи), всегда 8 букв в слове, отсутствует пробел между словами (это была бы третья буква). И вот возникает вопрос – а сколько вариантов у машинного слова, т. е. у одного байта? Еще проще –если одним байтом записывать числа, то сколько положительных целых чисел можно охватить 1 байтом? В поисках ответа можно терпеливо выписывать все возможные варианты слов из 8 нулей и единиц: 00000000, 00000001, 00000010 и т. д. до 11111111. Но ведь это долго и надо быть уверенным, что ничего не пропустили! Так вот – законы комбинаторики позволяют мгновенно решить эту задачу и получить ответ – вариантов записи байта ровно 256. Это чисто практический вопрос – ведь компьютер с возможностью считать в целых числах от –128 до 127 никто не купит. Ну, если целые числа хранить в 2-х машинных словах, в 2-х байтах или в 16 “разрядах”. ? Уж это новое число вариантов никто не согласится вычислять простым перебором! А ответ комбинаторики все тот же прост– в этом случае есть возможность работать с целыми числами от –32768 до 32767. Оказывается, что эти числа не надо запоминать, поскольку алгоритм их расчетов очень прост и посилен человеку, осилившему только арифметику. ·Рассмотрим второй пример решения практического вопроса с использованием правил комбинаторики. Пусть решается вопрос об установлении проводной связи между 25 предприятиями фирмы по следующему принципу–каждое предприятие должно иметь отдельный канал связи со всеми остальными. Сколько таких каналов придется установить в фирме?

Для решения вопроса можно нарисовать выпуклый 25–угольник и провести в нем все диагонали, пересчитав в конце их число и не забыв добавить число сторон. Человек, знающий комбинаторику, во-первых, не сделает ошибки–25·24=600 каналов. Во-вторых, он мгновенно укажет верный ответ – всего требуется 300 каналов. Комментарии излишни…

Для освоения наиболее популярных применений комбинаторики нам потребуется использовать, по крайней мере, два ее основных понятия– перестановки и сочетания.

Перестановками называют операции над упорядоченным рядом из nразличных объектов, в процессе которых “списочный состав” ряда не изменяется, но “места” объектов в этом ряду изменяются от варианта к варианту. Не будем тратить время на обоснование расчетной формулы для произвольногоn, а попробуем найти число перестановок в ряду из 1, 2 и 3 предметов. Воспользуемся для этого простенькой схемой:

n=1 A 1вариант.

n=2 AB BA 1·2= 2 варианта. n=3 ABC ACB BCA BAC CAB CBA 1·2·3= 6 вариантов. Можно доказать строго, что в общем случае число перестановок в ряду из n элементов составит {8–1}

Сочетаниями называют операции над множеством из n различных объектов, в процессе которых образуют подмножества из kэлементов, взятых из исходного множества, так, чтобы варианты подмножеств отличались друг от друга хотя бы одним элементом.

Опустим доказательство формулы для расчета числа сочетаний из n по kв общем виде и приведем лишь примеры для числа сочетаний из 3 по 2 и из 5 по 3.

    · Элементы исходного множества A, B, C.
    Варианты подмножеств: AB, AC, BC – всего три.
    · Элементы исходного множества A, B, C, D, E.

Варианты подмножеств: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE – всего десять. В общем случае число вариантов сочетаний или просто – число сочетаний из n по k определяется по формуле = {8–2}

Существует еще один способ вычисления числа сочетаний из n по k – с использованием коэффициентов в развернутой форме бинома (p+q)n. В самом деле, например, при n=3 коэффициенты при степенях разложения составляют 1, 3, 3, 1 – а это и есть сочетания из 3 по 0, 1, 2, 3 и 4 элементов. Известна также схема простого расчета биномиальных коэффициентов, которая носит названия треугольника Паскаля:

    Для n
    1
    1
    1
    1
    2
    1
    2
    1
    3
    3
    1
    3
    1
    4
    6
    4
    1
    4
    1
    5
    10
    10
    5
    1
    5
    1
    6
    15
    20
    15
    6
    1
    6
    1
    7
    21
    35
    35
    21
    7
    1
    7