Аппроксимация непрерывных функций многочленами - (реферат)
p>Присоединяя это уравнение к системе (2) и исключая , найдём, что , откуда .Итак, мы нашли: (3)
Из этого соотношения, и из того, что G(g1)=(g1, g1)>0 вытекает, что детерминант Грама всегда больше либо равен нулю, причём он обращается в нуль тогда и только тогда, если между векторами есть линейная зависимость (в частности, если один из векторов равен нулю).
1. 3. Первая теорема Вейерштрасса.
Мы рассмотрели теорему аппроксимации в произвольном линейном нормированным пространстве Е. Теперь рассмотрим пример линейного нормированного пространства пространство С.
Пространство С: совокупность всех непрерывных функций x=x(P) от точки Р в ограниченном замкнутом множествеобычного пространства любого числа измерений- это есть линейное нормированное пространство.
Из теоремы в применении к пространству вытекает следующий факт: пусть f(x) непрерывная функция в конечном интервале [a, b]; тогда при любом n существует полином, который среди полиномов n-й степени наименее уклоняется от f(x), в том смысле, что, где Qn(x)- произвольный полином n-й степени. Ясно, что . Теперь докажем, что при . Это утверждение и составляет содержание теоремы Вейерштрасса (1885), которая гласит:
если f(x) непрерывна в конечном замкнутом интервале [a, b], то всякому можно сопоставить полином Pn(x) степени n=n(), для которого во всём интервале [a, b] имеет место неравенство . Не нарушая общности, примем, что а=0, b=1. Приведём доказательство С. П. Бернштейна.
Для этого построим полином , и докажем, что равномерно во всём интервале [0, 1] . Напишем тождества: (1); ;
, из которых последите два получаются дифференцированием по р соотношения: . Из написанных тождеств вытекает, что (2).
Умножая (1) на f(x) и отнимая Bn(x), получим, что
, где суммирование в распространено на те значения к, для которых , а суммирование в - на остальные значения к. Так как f(x) непрерывна в замкнутом интервале [0, 1], и, значит, ограничена: во всём этом интервале, то А это выражение на основании (2): , с другой стороны, , где , и, значит, при . Окончательно: , что и доказывает теорему Вейерштрасса.
Заметим, что если Pn(x) равномерно стремится к f(x) при , то f(x) разлагается в равномерно сходящийся ряд.
Поэтому т. Вейерштрасса состоит так же в том, что всякая непрерывная в конечном интервале [a, b] функция f(x) может быть разложена в равномерно сходящийся при ряд, члены которого- полиномы.
1. 4. Вторая теорема Вейерштрасса.
Она относится к периодическим непрерывным функциям:
Если F(t)- непрерывная функция с периодом 2, то каково бы ни было число , существует тригонометрическая сумма , n=n(), которая для всех t удовлетворяет неравенству: .
II. Круг идей П. Л. Чебышева.
Пусть даны замкнутый (конечный или бесконечный) интервал [a, b] числовой оси и две вещественные непрерывные в [a, b] функции f(x) и S(x). Составим выражение: (*), где m и n заданы и поставим задачу найти вещественные параметры p0, p1.... pm; q0, q1.... qn так, чтобы уклонение Q(x) от f(x) было наименьшим. В частном случае, когда S(x)=1, m=0 и интервал [a, b] конечен, поставленная задача переходит в задачу о наилучшем приближении в пространстве С заданной функции с помощью многочлена степени n.
Будем полагать, что m=n-k, кроме того, если интервалом [a, b] является вся числовая ось, мы будем предполагать, что и будем рассматривать только те функции, для которых , m условимся считать чётным.
2. 1 Обобщённая теорема Валле-Пуссена.
Если многочлены ; , где и , , не имеют общего делителя , а выражение в интервале [a, b] остаётся конечным и если разность f(x)-R(x) принимает в последовательных точках x1
Теорема существования.
Среди функций Q(x) существует по крайней мере одна, для которой HQ имеет наименьшее значение. Т. о. , пусть Н- есть нижняя грань множества всех HQ. По определению, следовательно, существует бесконечная последовательность функций Qi(x), для которой .
2. 2. Теорема Чебышева.
Функция Р(х), которая из всех функций вида Q(x) наименее уклоняется в [a, b] от функции f(x), единственна.
Эта функция вполне характеризуется таким своим свойством, если она приведена к виду, и , и дробь несократима, то число N последовательных точек интервала [a, b], в котором разность f(x)-P(x) принимает с чередующимися знаками значение Нр, не менее, чем m+n-d+2, где d=, а если P(x)=0, то . Теорема Чебышева показывает, что существует единственная функция P(x), дающая наилучшее приближение к данной функции f(x) (т. е. наименее отклоняется от f(x)) в данном нормированном пространстве.
Случай аппроксимации многочленами.
Особенно важным является частный случай, когда S(x)=1, m=0 и интервал [a, b] конечен. В этом случае мы получаем теорему:
многочлен n-й степени P(x), который наименее уклоняется (в метрике пространства С) от заданной непрерывной функции f(x), единственен и вполне характеризуется тем, что число последовательных точек интервала [a, b], в которых разность f(x)-P(x) принимает с чередующимися знаками значение не меньше, чем n+2.
2. 3 Переход к периодическим функциям.
Допустим, что - есть непрерывная периодическая функция с периодом , которую нужно наилучшим образом аппроксимировать на всей оси при помощи тригонометрической суммы: порядка n. Сделаем замену переменной так, что интервалу будет соответствовать интервал . Т. к. и так как есть многочлены степени к от , то после преобразования мы получим . Следовательно, наша задача сводится к наилучшему (в интервале ) приближению функции F(x)=f() при помощи выражения вида: . Выражение W2n(x) можно рассматривать как частный случай выражения Q(x), если положить m=0, . Легко видеть, что общие теоремы применимы, и теорема Чебышева гласит: тригонометрическая сумма n-го порядка , которая наименее уклоняется на всей оси от заданной непрерывной периодической функции, единственна и вполне характеризуется тем, что число последовательных точек интервала (или какого- нибудь открытого полуинтервала длиной 2), в которых разность принимает с чередующимися знаками значение max|| не меньше, чем 2n+2. Одну и ту же функцию f(x) в (0, ) можно разложить в ряд по sin, по cos, по sin и cos, т. к. если f(x) определена на (0, ), то доопределить f(x) на можно бесконечным множеством способов. Следовательно, задача о разложении f(x) в ряд имеет бесчисленное множество решений. Из всех этих решений выделяются 2: Если f(x) доопределить чётным образом, то получим ряд только по cos кратных дуг;
Если f(x) доопределить нечётным образом, то получим ряд только по sin. Пример: f(x)=x на
,
;
;
Для sin аналогично, только f(x)- нечётная.
2. 4 Обобщение теоремы Чебышева.
Мы рассмотрели алгебраические и тригонометрические многочлены на некотором интервале и сформулировали для них теорему Чебышева об аппроксимации этих функций. Теперь рассмотрим произвольную, непрерывную на [a, b] вещественную функцию.
Рассмотрим систему вещественных непрерывных функций f1(x), f2(x).... fn(x) в конечном или бесконечном интервале [a, b], которая удовлетворяет условиям Хаара: единственность полинома наименьшего уклонения для каждой функции f(P) будет тогда и только тогда, когда каждый полином F(P, x)0 имеет в ограниченном замкнутом точечном множестве не более n-1 различных нулей. Такую систему называют системой Чебышева относительно интервала [a, b]. Лемма: Пусть x1, x2.... xn-1произвольно взятые различные точки из интервала [a, b]. В таком случае существует (и с точностью до постоянного множителя только 1) нетривиальный полином, который имеет своими нулями следующие точки:
Других нулей у этого полинома нет, и, если т. xk лежит внутри [a, b], то при переходе через неё полином F(x, ) меняет знак. Обобщение: Если S- есть система Чебышева относительно интервала [a, b], а f(x) произвольная непрерывная в [a, b] вещественная функция, то полином F(x, ), который в метрике С наименее уклоняется в [a, b] от f(x) вполне определяется тем, что разностьпринимает с чередующимися знаками своё максимальное значение по крайней мере в n+1 последовательных точках интервала [a, b].
Теперь мы можем рассматривать функции в произвольных нормированных пространствах.
III. Методы аппроксимации
3. 1 Приближение функций многочленами.
Алгебраическим многочленом степени n называется функция - действительные числа, называемые коэффициентами. Алгебраические многочлены являются простейшими функциями. Они непрерывны при любом x. Производная многочлена- так же многочлен, степень которого на единицу меньше степени исходного. Так, если степень n, то.
В школьном курсе математики рассматриваются функции f(x)=ax, f(x)=logax, f(x)=sin(x) и др. , изучаются их свойства, строятся графики. Однако вопрос о методах вычисления значений названных функций при заданных значениях аргумента не рассматривается. Вместе с тем, он очень важен. Познакомимся с методами приближения функций, или методами аппроксимации.
3. 2 Формула Тейлора.
Рассмотрим функцию y=f(x), определённой на некотором промежутке, содержащим т. а. Предположим, что эта функция имеет производные (n+1)-го порядка. Уравнение касательной к графику функции в т. х=а имеет вид: . Многочлен 1-й степени: в т. х=а совпадает со значением f(x) в этой точке: P1(a)=f(a). Многочлен в т. х=а имеет то же значение производной, что и функция. Действительно, P1’(x)=f’(a), следовательно, P1’(а)=f’(a). График многочлена Р1(х) касается графика функции y=f(x) в т. М0(а, f’(a)). Можно найти многочлен 2-й степени, а именно: , который в т. х=а будет иметь с функцией y=f(x) общее значение и одинаковые значения как первых, так и вторых производных. График многочлена Р2(х) вблизи т. х=а ещё теснее будет прилегать к графику функции y=f(x) по сравнению с графиком многочлена Р1(х).
