Аппроксимация непрерывных функций многочленами - (реферат)
Аппроксимация непрерывных функций многочленами - (реферат)
Дата добавления: март 2006г.
АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ
Содержание
Введение
I. Постановка основной задачи теории аппроксимации
1. 1. Основная теорема аппроксимации в линейном нормированном пространстве 1. 2. Теорема аппроксимации в пространстве Гильберта
1. 3. Первая теорема Вейерштрасса
1. 4. Вторая теорема Вейерштрасса
II. Круг идей П. Л. Чебышева
2. 1. Теорема Валле-Пуссена и теорема существования
2. 2. Теорема Чебышева
2. 3. Переход к периодическим функциям
2. 4. Обобщение теоремы Чебышева
III. Методы аппроксимации
3. 1. Приближение функции многочленами
3. 2. Формула Тейлора
3. 3. Ряды Фурье
Заключение
Литература
Введение
Элементы важной и интересной области математики- теория приближения функций. Под приближением функции понимают замену по определенному правилу одной функции другой, близкой к исходной в том или ином смысле. Практическая необходимость в такой замене возникает в самых различных ситуациях, когда данную функцию необходимо заменить более простой и удобной для вычислений, восстановить функциональную зависимость по экспериментальным данным, и т. п. Основоположником теории аппроксимации функций является великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894).
В качестве приближающих функций выбирают чаще всего алгебраические и тригонометрические многочлены. Так же важное значение имеет метод наилучшего приближения, предложенный Чебышевым. Он возник из решения практических задач, связанных с конструированием прямолинейно направляющих шарнирных механизмов. Такие механизмы в XIX веке использовались в паровых машинах- основных универсальных двигателях того времени- для поддержания прямолинейного движения поршневого штока. К ним относятся параллелограмм Уатта и некоторые его разновидности.
На дальнейшее развитие этой теории оказало влияние открытие, сделанное в конце XIX века немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Им была доказана принципиальная возможность приближения произвольной непрерывной функции с любой заданной степенью точности алгебраическим многочленом, что явилось второй причиной применения этих многочленов как универсального средства приближения функций, с заданной сколь угодно малой ошибкой.
Кроме алгебраических многочленов, другим средством приближения функций являются тригонометрические многочлены, значение которых в современной математике, конечно, не исчерпывается указанной ролью.
I. Постановка основной задачи аппроксимации
Основную задачу теории аппроксимации можно сформулировать следующим образом: на некотором точечном множестве в пространстве произвольного числа измерений заданы 2 функции f(P) и F(P, A1, A2.... An) от точки P, из которых вторая зависит ещё от некоторого числа параметров А1, А2.... Аn; эти параметры требуется определить так, чтобы уклонение в функции F(P, A1, A2.... An) от функции f(P) было наименьшим. При этом, конечно, должно быть указано, что понимают под уклонением F от f или, как ещё принято говорить, под расстоянием между F и f.
Если, например, рассматриваются ограниченные функции, то в качестве расстояния между двумя функциями можно взять верхнюю грань вмодуля их разности. При таком определении расстояния для совокупности всех ограниченных вфункций оказываются справедливыми многие соотношения, которые мы имеем для точек обычного 3х-мерного пространства.
Последнее обстоятельство, с которым постоянно приходится сталкиваться в математике при рассмотрении других классов функций и многих иных совокупностей (множеств), привело к созданию весьма важного понятия метрического пространства, так что при дальнейшем изложении совокупность - это метрическое, либо Гильбертово пространство.
1. 1. Основная теорема аппроксимации линейном нормированном пространстве Пусть Е- произвольное нормированное пространство, пусть g1, g2.... gn- n линейно- независимых элементов из Е. Основную задачу аппроксимации применительно к рассматриваемому нами “линейному случаю” можно сформулировать следующим образом: дан элемент хЕ, требуется определить числа , .... так, чтобы величина получила наименьшее значение. Докажем, что требуемые значения чисел существуют.
Предварительно заметим, что - есть непрерывная функция своих аргументов. Действительно, в силу неравенства треугольника:
Введём теперь вторую непрерывную функцию:
На “сфере” , которая является ограниченным замкнутым множеством точек в n-мерном конечном Евклидовом пространстве, функция по известной теореме Вейерштрасса имеет некоторый минимум . Неотрицательное число не может равняться 0, так как векторы g1, g2.... gn линейно независимы. Так же . Обозначим ()- нижняя грань значения функций . Если , то
Желая найти минимум функции , мы можем ограничиться рассмотрением только значений , для которых , т. е. рассмотрением функции в ограниченной замкнутой области, а в такой области непрерывная функция имеет минимум.
Итак, существование линейной комбинации , дающей наилучшую аппроксимацию элемента х, доказано.
Строго нормированное пространство.
Возникает вопрос, когда выражение , дающее наилучшую аппроксимацию элемента х, будет единственным для ? Указанная единственность во всяком случае имеет место тогда, когда пространство Е строго нормировано, т. е. когда в неравенстве , знак “=” достигается только при , . В самом деле, допуская, что пространство Е строго нормировано, предположим, что элемент х имеет два выражения: и наилучшего приближения, причём g1, g2.... gn линейно независимы. где, как легко видеть, можно принять, что и, поскольку
, то
, и, значит,
Следовательно, в силу строгой нормированности пространства: . В этом соотношении должно =1, т. к. в противном случае элемент х был бы линейной комбинацией элементов g1, g2.... gn и, значит, было бы . Но если , то
и, значит, , т. к. элементы g1, g2.... gn линейно независимы. Таким образом, рассматриваемые выражения- тождественны. Примером строго нормированного пространства является пространство Н, а также Lp при р>1, но пространства С и L не являются строго нормированными. Действительно, возьмём интервал [-1, 1] и две линейно независимые функции x(t) и y(t), модули которых принимают свои максимальные значения в одной и той же точке интервала, причём arg x()=arg y(). Тогда очевидно, . Чтобы доказать, что не есть строго нормированное пространство, достаточно взять x(t)=1, при и x(t)=0, при t
Геометрическая интерпретация.
Проблема, существование решения которой мы ранее доказали, допускает полезную геометрическую интерпретацию. Действительно, совокупность точек вида, где зафиксированные элементы g1, g2.... gn линейно независимы, а пробегают всевозможные комплексные числа, представляют некоторое линейное многообразие в том смысле, что из следует, что при произвольных комплексных . Это линейное многообразие, очевидно, является пространством, так как оно содержит точку 0. При n=1 мы получаем “прямую”; при n=2- “плоскость”, а вообще “n- мерную плоскость”.
Наша проблема, таким образом, состояла в нахождении точки конечномерного подпространства G пространства E, которая от заданной точки хнаходится на кратчайшем расстоянии (в метрике пространства Е). Мы доказали, что такая точка в G существует.
Если само пространство Е не является конечномерным, т. е. если в нём имеется сколько угодно линейно независимых между собой векторов, то Е содержит бесконечномерные подпространства. Пусть G- такое подпространство. Возникает вопрос, существует ли в G точка, наименее удалённая от заданной точки. Заметим, если пространство Е строго нормировано, то в G во всяком случае не может существовать более одной точки, наименее удалённой от данной точки.
1. 2. Теоремы аппроксимации в пространстве Н.
Пусть G- некоторое подпространство пространства Гильберта Н, и пусть точка x- точка, не принадлежит G. Если в G существует точка y, наименее удалённая от x, то вектор x-y ортогонален к каждому вектору g из G, т. е. (x-y, g)=0, . Чтобы доказать это утверждение, предположим, что в G существует вектор f, для которого, и рассмотрим вектор .
Имеем и, значит: , а это противоречит предположению, что y- есть наименее удалённая точка от x подпространства G. Вектор y из G, обладающий тем свойством, что разность x-y ортогональна к G, естественно назвать проекцией x на G.
В этом случае, когда подпространство конечномерно и образовано линейно независимыми векторами g1, g2.... gn, мы можем, пользуясь доказанными предложениями, фактически найти вектор y=, наименее уклоняющийся от вектора x. Действительно, вектор y- есть проекция x на G и, значит, он должен удовлетворять уравнениям:
(k=1, 2.... n) (1), которые в подробной записи имеют вид:
(2)
и представляют систему линейных уравнений, для нахождения коэффициентов . Детерминант этой системы, т. е.
,
носит название детерминанта Грама системы векторов g1, g2.... gn. Так как пространство Н строго нормировано, а векторы giлинейно независимы, то при любом векторе x система (2) имеет одно и только одно решение. Отсюда вытекает, что детерминант Грама линейно независимых векторов всегда отличен от нуля.
Найдём ещё выражение для квадрата погрешности, с которой вектор y аппроксимирует вектор x, т. е. для величины.
В силу (1), имеем равенство
или
.
