Экзаменационные билеты
|и |и |и |
|и |л |л |
|л |и |и |
|л |л |и |
Условное высказывание находит очень широкое применение во всех сферах
рассуждения. В логике оно представляется, как правило, посредством
импликативного высказывания, или и пликации.
Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее
основание (антецедент) было истинным, а следствие (консеквент) – ложным.
Для установления истинности импликации «если A, то B» достаточно, таким
образом, выяснить истинностные значения высказываний A и B. Из четырех
возможных случаев импликация истинна в следующих трех:
(1) и ее основание, и ее следствие истинны;
(2) основание ложно, а следствие истинно;
(3) и основание, и следствие ложны.
Только в четвертом случае, когда основание истинно, а следствие ложно, вся
импликация ложна. Будем обозначать импликацию символом >. Таблица
истинности для импликации приводится. Смысл импликации, как одной из
логических связок, полностью определен этой таблицей и ничего другого
импликация не подразумевает. Импликация, в частности, не предполагает, что
высказывания A и B как-то связаны между собой по содержанию. В случае
истинности B высказывание «если A, то B» истинно независимо от того
является A истинным или ложными связано оно по смыслу с B или нет. Условное
высказывание истнно также тогда, когда A ложно, и при этом опять-таки
безразлично, истинно B или нет и связано оно по содержанию с A или нет.
С имплткацией тесно связана эквивалентность, называемая иногда «двойной
импликацией».
Эквивалентность – сложное высказывание «A, если и только если B»,
образованное из высказываний A и B и разлагающееся на две импликации:
«если A, то B» и «если B, то A».
|A |B |A?B |
|и |и |и |
|и |л |л |
|л |и |л |
|л |л |и |
Термином «эквивалентность» обозначается и связка «... если и только
если...», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное
высказывание. Вместо «..., если и только если» для этой цели могут
использоваться «.. в том и только в том случае, когда...», «... тогда и
только тогда, когда...» и т. п.
Если логические связки определяются в терминах истины и лжи,
эквивалентность истинна тогдаи только тогда, когда оба составляющие ее
высказывания имеют одно и то же истинностное значение, т. е. когда они оба
истинны или оба ложны. Соответственно, эквивалентность является ложной,
когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а другое ложно.
Обозначим эквивалентность символом ?, формула A?B может быть прочитана так:
«A, если и только если B». Таблица истинности для эквивалентности
приводится.
С использованием введенной логической символики связь эквивалентности и
импликации можно
представить так: «A?B» означает «(A>B)&(A>B)».
Эквивалентность является отношением типа равенства. Как и всякое отношение,
эквивалентность высказываний является рефлексивной (всякое высказывание
эквивалентно самому себе), симметричной (если одно высказывание
эквивалентно другому, то второе эквивалентно первому) и транзитивной (если
одно высказывание эквивалентно другому, а другое – третьему, то превое
высказывание эквивалентно третьему).
10. Логические законы тождества, противоречия и исключенного третьего
Закон тождества говорит: если каждое высказывание истинно, то оно истинно.
Иначе говоря, каждое высказывание вытекает из самого себя и является
необходимым и достаточным условием своей истинности. Символически: A>A,
если A, то A. Например, если дом высокий, то он высокий» и т. п.
Идея, выражаемая законом противоречия, проста: высказывание и его отрицание
не могут быть вместе истинными. Закон противоречия выражается формулой:
~(A&~ A), неверно, что A и не-A. Если применять понятия истины и лжи, закон
противоречия можно сформулировать так: никакое высказыание не является
вместе истинным и ложным. Иногда закон противоречия формулируют
следующим образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одно
является ложным.
Закон исключенного третьего, как и закон противоречия, устанавливает связь
между противоречащими друг другу высказываниями. Он утверждает: из двух
противоречащих высказываний одно является истинным. Символически: A v~ A, A
или не-A. Например: «Личинки мух имеют голову или не имеют ее». Само
название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в
рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и
никакой третьей возможности нет.
11. Законы двойного отрицания, контрапозиции, приведения к абсурду и
косвенного доказательства
Законом двойного отрицания называется закон логики, позволяющий отбрасывать
двойное отрицание. Этот закон можно сформулироватьтак: отрицание отрицания
дает утверждение, или: повторенное дважды отрицание дает утверждение.
Например: «Если неверно, что Вселенная не являтся бесконечной, то она
бесконечна». В символической форме закон записывается так: ~ ~ A>A, если
неверно, что не-A, то верно A.
Законы контрапозиции говорят о перемене позиций высказываний с помощью
отрицания: из условного высказывания «если есть первое, то есть второе»
вытекает «если нет второго, то нет и первого», и наоборот. Символически:
(A>B)>(~B>~ A), если дело обстоит так, что если A, то B, то если не-B, то
не-A;
(~B>~A)>(A>B), если дело обстоит так, что если не-B, то не-A, то если A, то
B.
К примеру: из высказывания «Если есть следствие, то есть и причина» следует
высказывание «Если нет причины, нет и следствия», и из второго высказывания
вытекает первое.
К законам контрапозиции обычно относят также законы:
(A>~ B) >(B>~A), если дело обстоит так, что если A, то не-B, то если B, то
не-A. Например, «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не
квадрат»;
(~ A >B) > (~B> A), если верно, что если не-A, то B, то если не-B, то A. К
примеру: «Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся
сомнительным очевидно».
Редукция к абсурду (приведение к нелепости) – это рассуждение, показывающее
ошибочность какого-то положения путем выведения из него абсурда, т. е.
логического противоречия. Если из высказывания А выводится как высказывание
В, так и его отрицание, то верным является отрицание А. Например, из
высказывания «Треугольник – это окружность» вытекает с одной стороны то,
что треугольник имеет углы, с другой, что у него нет углов; следовательно,
верным является не исходное высказывание, а его отрицание «Треугольник не
является окружностью». Закон приведения к абсурду представляется формулой:
(A>B)&(A>~B)>~A, если (если А, то В) и (если А, то не-В), то не-А.
Частный закон приведения к абсурду представляется формулой:
(A>~A)>~A, если (если А, то не-А). Например, из положения «Всякое правило
имеет исключения», которое само по себе является правилом, вытекает
высказывание «Есть правила, не имеющие исключений»; значит, последнее
высказывание истинно.
Закон косвенного доказательства позволяет заключить об истинности какого-то
высказывания на основании того, что отрицание этого высказывания влечет
противоречие. Например, «Если из того, что 17 не является простым числом,
вытекает как то, что оно делится на число отличное от самого себя и
единицы, так и то, что оно не делится на такое число, то 17 есть простое
число. Символически закон косвенного доказательства записывается так:
(~A>~B)&(~A>~B)>A, если (если не-А, то В) и (если не-А, то не-В), то А.
Законом косвенного доказательства обычно называется и формула:
(~A>(B& ~B))>A, если (если не-А, то В и не-В), то А. К примеру: «Если из
того, что 10 не является простым числом, вытекает, что оно делится и не
делится на 2, то 10 – четное число».
12. Законы де Моргана
Законы де Моргана позваляют переходить от утверждений с союзом «и» к
утверждениям с союзом «или», и наоборот:
~ (A&B) > (~Av~ B), если неверно, что есть и первое, и второе, то неверно,
что есть первое, или неверно, что есть второе:
(~ Av ~B) > ~ (A&B), если неверно, что есть первое, или неверно, что есть
второе, то неверно, что есть первое и второе. Используя эти законы, от
высказывания «Неверно, что изучение логики и трудно, и бесполезно» можно
перейти к высказыванию «Изучение логики не является трудным, или же оно не
бесполезно». Объединение этих двух законов дает закон (? - эквивалентность,
«если и только если»):
~ (A&B) ? (~Av ~ B).
Словами обычного языка этот закон можно выразить так: отрицание конъюнкции
эквивалентно дизъюнкции отрицаний.
Еще один закон де Моргана утверждает, что отрицание дизъюнкции эквивалентно
