RSS    

   Моделирование прыжка с трамплина - (диплом)

p>Подъемная сила и сила лобового сопротивления в потоке идеального газа. - полная аэродинамическая сила, составляющими которой являются сила лобового сопротивления и подъемная сила.

Угол между скоростью и лыжами - это угол атаки . То есть коэффициент (13)

    Окончательно имеем следующие выражения для и :
    (14)
    где
    (15)

В формуле (14) - это угол отрыва, то есть угол, под которым траектория наклонена к горизонтали в начальный момент времени. Минус поставлен потому, что. Под понимается предельная скорость системы лыжник-лыжи в момент отрыва (в начальный момент времени).

Система дифференциальных уравнений (7) с аэродинамическими коэффициентами, вычисляемыми в каждый момент времени по формулам (14), (15), образует замкнутую систему уравнений. Если к ней добавить начальные условия (8), данная задача будет являться задачей Коши.

В заключение приводится сравнение реальных аэродинамических коэффициентов прыгунов 60-х и нашей оценки. На рис. 6 видно, что вид зависимости коэффициентов друг от друга с угол атаки в качестве параметра слабо отличается, и коэффициент подъемной силы в нашей работе выше, чем в экспериментах тридцатилетней давности. Это хорошо согласуется с тем фактом, что за прошедшие годы прыгуны научились развивать большую подъемную силу. Также если сравнить полученные нами графики зависимости аэродинамических коэффициентов от угла атаки (рис. 7) с аналогичными графиками в [1] на страницах 10-11, 13-14 и 15-16, видно, что вид зависимости сохранился.

    Рис. 6.

Зависимость коэффициента подъемной силы от коэффициента сопротивления с углом атаки в качестве параметра.

Кривая А - наша оценка, кривая В - эксперименты в аэродинамической трубе с моделями прыгунов, использующих старую технику прыжка.

    Рис. 7.

Зависимость коэффициентов силы лобового сопротивления и подъемной силы от угла атаки.

    4. Обтекание трамплинной горы потоком воздуха
    4. 1. Концептуальная постановка задачи

Эта глава посвящена задаче обтекания воздухом трамплинной горы. Цель данной работы - спрогнозировать поле скоростей ветра вблизи трамплина, чтобы можно было использовать эти данные в модели полета лыжника и более точно оценить влияние ветра на полет.

Сам трамплин достаточно узок и не играет значительной роли в формировании воздухных потоков, поэтому рассматривается только гора.

Для решения задачи была привлечена теория пограничного слоя. Воздух в пограничном слое вблизи земли считается вязкой несжимаемой жидкостью. Это не противоречит очевидной сжимаемости воздуха: как будет показано ниже, условие сжимаемости (согласно [8], где используется термин "искусственная сжимаемость") будет выглядеть точно так же, как и условие несжимаемости. Рассматривается двумерная постановка задачи течения жидкости в достаточно большой области, чтобы течение во входном и выходном сечениях и на верхней границе можно было считать строго горизонтальным. Нам известны экспериментальные данные по среднесезонным и среднегодовым скоростям ветра на разных высотах, их можно использовать для проверки и выбора входных данных. В [9], например, скорости ветра заданы в виде нечетких чисел, у которых функция принадлежности имеет вероятностный смысл, а носитель измеряется в м/с:

Скорости ветра в среднем по зимнему сезону (среднее значение): скорость ветра на высоте от 40 до 120 м (4. 9 м/с):

("0 до 2"/0. 188 , "2 до 5"/0. 420 , "5 до 10"/0. 352 , "10 до 15"/ 0. 037, "свыше 15"/0. 003)

    скорость ветра на высоте 500 м (11. 4 м/с):

("0 до 2"/0. 061 , "2 до 5"/0. 125 , "5 до 10"/0. 336 , "10 до 15"/ 0. 241, "свыше 15"/0. 237)

    скорость ветра на высоте от 1000 м (11. 3 м/с):

("0 до 2"/0. 073 , "2 до 5"/0. 114 , "5 до 10"/0. 290 , "10 до 15"/ 0. 280, "свыше 15"/0. 243)

    скорость ветра на высоте от 1500 м (11. 6 м/с):

("0 до 2"/0. 087 , "2 до 5"/0. 076 , "5 до 10"/0. 276 , "10 до 15"/ 0. 306, "свыше 15"/0. 255)

    Среднегодовые скорости ветра (среднее значение):
    скорость ветра на высоте от 40 до 120 м (4. 7 м/с):

("0 до 2"/0. 214 , "2 до 5"/0. 442 , "5 до 10"/0. 316 , "10 до 15"/ 0. 026, "свыше 15"/0. 002)

    скорость ветра на высоте 500 м (8. 9 м/с):

("0 до 2"/0. 117 , "2 до 5"/0. 194 , "5 до 10"/0. 370 , "10 до 15"/ 0. 187, "свыше 15"/0. 132)

    скорость ветра на высоте 1000 м (9. 2 м/с):

("0 до 2"/0. 110 , "2 до 5"/0. 183 , "5 до 10"/0. 336 , "10 до 15"/ 0. 225, "свыше 15"/0. 146)

    скорость ветра на высоте 1500 м (9. 4 м/с):

("0 до 2"/0. 126 , "2 до 5"/0. 168 , "5 до 10"/0. 284 , "10 до 15"/ 0. 274, "свыше 15"/0. 148)

Как видно из этих данных, начиная с высоты 500 метров скорость ветра мало изменяется, значит, эту величину можно принять в качестве толщины пограничного слоя. Рассматриваемая область имеет прямоугольную форму с выпуклостью на нижней границе - трамплинной горой.

Контрольный счет проводился при следующих граничных условиях: во входном сечении: (16)

    в выходном сечении: (17)
    на верхней границе: (18)
    на нижней границе: (19)

Рассматриваются достаточно малые скорости, так как при сильном ветре прыжки запрещены. Малость скоростей позволяет пренебречь конвективными членами и считать течение ламинарным. Силой тяжести на данном этапе мы также пренебрегаем. Надо сказать, что мы сознаем некоторую натянутость такой постановки, в следующей работе эта задача будет решена уже с учетом и конвективного члена, и силы тяжести.

    4. 2. Математическая постановка

Течение вязкой несжимаемой жидкости описывается следующими уравнениями [7]: (20)

Для двумерной постановки эти уравнения приводятся к следующему виду: (21)

Согласно [8] для описания сжимаемых жидкостей первое уравнение из (21) может быть заменено на следующее: , однако так как в данной работе рассматривается стационарное течение, то производная по времени равна нулю, и это соотношение приобретает вид, идентичный условию несжимаемости.

    Задача решалась с граничными условиями (16)-(19).

В качестве области брался прямоугольник с выступом в виде трамплинной горы. Сам трамплин достаточно узок, и не вносит существенного вклада в формирование воздушного потока, поэтому он не рассматривается. Трамплинная гора состоит из участка необработанного склона - дуги окружности с известным радиусом кривизны, длиной и высотой, участка обработанного склона, предназначенного для приземления лыжников - прямой с известным углом к горизонтали и длиной и закругления с известным радиусом для безопасности тех, кто улетает за пределы допустимой дальности.

    4. 3. Численное решение

Задача решалась методом Галеркина в терминах скорость-давление. Метод конечных элементов был использован, так как он позволяет более точно, чем метод сеток, аппроксимировать границы области. Задача решалась в естественных переменных для простоты удовлетворения граничным условиям. Для решения задачи была составлена программа, основными частями которой были разбиение области на конечные элементы, составление и решение системы уравнений. Система уравнений имеет ленточный вид, что позволило значительно увеличить количество конечных элементов. В программе была использована линейная аппроксимация скоростей и кусочно-постоянная аппроксимация давления. Дело в том, что в [7] показано, что наибольшая точность и устойчивость метода конечных элементов для подобных задач достигается, если аппроксимация скоростей на порядок выше аппроксимации давлений. Для давлений использовались четырехугольные конечные элементы, делившиеся для скоростей на два треугольных.

    Рис. 8.

Конечноэлементная сетка, использовавшаяся при решении задачи. Показаны только четырехугольные элементы.

    4. 4. Результаты

При перепаде давлений между входным и выходным сечениями расчетной области 210-6 мм рт. ст. (около 410-4Па) скорость ветра на верхней границе составила примерно 11 м/с, а на высоте, где обычно летают лыжники - около 5 м/с, что вполне согласуется с приведенными выше опытными данными.

Задача решалась при различных граничных условиях, что позволило выяснить, как влияет на расчет заданный перепад давлений или заданная входная скорость. Оказалось, что задав силовое граничное условие - перепад давлений - получаем такие скорости, что если задать их в качестве кинематических граничных условий, получается тот же перепад давлений, что и в первой задаче.

Из рисунка 9 видно, что во входном и в выходном участках области скорость ветра строго горизонтальна, а в районе горы имеет вертикальную составляющую, так как воздушный поток огибает гору. На рисунке 10, показывающем распределение поля давлений, видно, что давление над горой ниже, чем под горой, что и является причиной восходящего (огибающего гору) тока воздуха.

    Рис. 9
    Поле скоростей ветра в окрестностях горы.
    5. Расчет полета лыжника

Задача Коши (7), (14), (15), (8) решалась методом Гаусса решения систем дифференциальных уравнений.

Траекторию при заданных уравнениях движения и трамплине определяют три "входных" патаметра: начальная скорость, поддерживаемый в полете угол между лыжами и горизонталью и предельная скорость . После решения задачи Коши мы можем определить два "выходных" параметра задачи - составляющую посадочной скорости, нормальную к склону и дальность . Далее для краткости будет называться просто скоростью приземления. Исследовалась сходимость решения по интегральной и максимальной норме. Кроме этого проводилось еще две проверки, имеющих более простой и наглядный смысл. Их результаты здесь и приведены. Сравнение получающихся дальностей и скоростей приземления показало, что при заданном шаге по времени с дальность отличается по сравнению с решением с точностью с на величину порядка м, то есть у решений с шагами 0. 001 с и 0. 0001 с отличие в дальности имеет порядок нескольких миллиметров - в пределах одного сантиметра, т. е. 0. 01 м. Численно отличие между скоростями приземления меньше в 2-3 раза, чем между дальностями. Так как точности выше 1 см и 1 см/с нам не нужны, все дальнейшие расчеты проводились с шагом по времени 0. 001 с. Второй проверкой была такая: при отключении условия окончания вычислений по прошествии достаточно большого времени скорость падения становилась постоянной и равной предельной скорости. Оказалось, что значения выходных параметров достаточно жестко определяют, какими могут быть входные параметры. Это обусловлено не только узостью интервала допустимых скоростей приземления и длиной участка склона приземления, но и узостью интервалов изменения входных параметров. Вычислительный эксперимент проводился на параметрах нижне-тагильского трамплина. Входные параметры должны удовлетворять следующим условиям:

    м/с
    м/с

Страницы: 1, 2, 3, 4


Новости


Быстрый поиск

Группа вКонтакте: новости

Пока нет

Новости в Twitter и Facebook

                   

Новости

© 2010.