Моделирование прыжка с трамплина - (диплом)
p>Трамплин состоит из участка для разгона и так называемого стола отрыва, с которого лыжники уходят в свободный полет. Стол отрыва наклонен к горизонтали под небольшим отрицательным углом, обычно от -6о до -12о. Здесь собственно трамплин заканчивается, а все, что дальше, называется горой приземления или трамплинной горой. Высота стола отрыва над склоном горы приземления обычно обозначается и составляет от 2% до 4% от максимальной дальности, обозначаемой . Трамплинная гора состоит из трех участков: участка необработанного склона длиной и шириной , участка приземления - прямого участка склона, составляющего с горизонталью отрицательный угол, равный согласно принятым нормам от -25О до -40О, и участка торможения. Участок торможения как правило имеет профиль, плавно закругляющийся вверх. Расстояние по горизонтали от канта отрыва - крайней точки стола отрыва - до точки максимальной дальности обозначается. Этой буквой обозначается также критическая точка - конец участка приземления. 2. 2. Собственно концептуальная постановкаКратко цель данной работы звучит так: "как прыгнуть, чтобы улететь подальше и не разбиться? " Изменяя свою позицию во время отрыва, относительное положение ног, рук и корпуса, атлет может контролировать траекторию своего полета в воздухе, управляя углом атаки. Задача формулируется следующим образом: как должен лыжник управлять своим телом, чтобы приземлиться настолько далеко, насколько возможно, и при этом иметь приемлемую посадочную скорость. Если старт и полет проходят нормально, то практически невозможно приземлиться раньше начала склона приземления. Но существует другая опасность. Лыжник оканчивает полет с большой скоростью, которую необходимо погасить. Для этого существует слегка закругляющийся участок торможения. Но если прыгун перелетает критическую точку, то он серьезно рискует, так как дальше склон закругляется вверх, и угол, под которым его траектория подходит к склону, будет составлять уже не 5-10О, а значительно больше. Поэтому приземление ральше или позже специально созданного для этого участка приземления в первом случае невозможно, а во втором - недопустимо. Параллельная склону составляющая скорости гасится при дальнейшем движении лыжника по зкругленному склону. Наибольшую опасность при приземлении представляет собой составляющая скорости, перпендикулярная склону, так как при слишком большой нормальной скорости кроме больших ударных нагрузок также есть риск упасть - при том, что в момент приземления лыжник имеет скорость в несколько десятков км/ч. Поэтому нормальная к склону составляющая посадочной скорости не должна превышать 7 м/с, а желательно должна составлять 3-5 м/с.
3. Математическая постановка задачи
3. 1. Предположения
Поверхность земли считаем плоской, а плотность воздуха и ускорение свободного падения - постоянными.
Ось абсцисс направим в сторону полета лыжников параллельно горизонту, ось ординат - вверх через край стола отрыва, называемый кантом отрыва. Начало координат расположено так, что абсцисса точки старта и ордината критической точки- конца участка приземления - равны нулю. Если нет бокового ветра и других возмущений, центр масс лыжника описывает кривую в вертикальной плоскости, то есть задачу полета можно рассматривать как двухмерную.
Очевидно, прыгун может изменять свои аэродинамические параметры, на которые влияют следующие факторы:
кинетический момент системы прыгун-лыжи относительно оси, перпендирулярной плоскости рисунка и проходящей через центр масс системы, в момент отрыва и в полете;
изменение момента инерции системы относительно той же оси в полете; различные активные и реактивные эффекты, связанные с вращением различных частей тела вследствие работы мышц.
Результаты многих исследований кинозаписей (Грозин, 1971, Komi et al. ,1974) доказывают относительную статичность положения каждого прыгуна в полете. Это упрощает описание картины перемещений и скоростей системы прыгун-лыжи и позволяет использовать индивидуальные экспериментальные характеристики, получаемые в аэродинамической трубе. Благодаря этому было введено предположение о неизменности позы лыжника в полете. Весь прыжок можно разбить на четыре фазы: взлет, группировку, собственно полет и подготовку к приземлению. Первая фаза длится примерно 0. 3 с, вторая - 0. 8-0. 9 с, третья - 0. 3-0. 6 с. Все остальное время поза лыжника практически не меняется - см. рис. 2 [1].
Рис. 2. Изменение угла атаки прыгуна во время прыжка
(по оси абсцисс отложено отношение текущей дальности к полной дальности прыжка, по оси ординат - угол атаки туловища в градусах по результатам среднего прыжка).
Таким образом, в основной фазе полет прыгуна близок к поступательному движению, что делает естественным предположение о замене рассмотрения прыгуна рассмотрением движения его центра масс.
3. 2 Уравнения движения
На прыгуна в полете действуют две основные силы: аэродинамическая сила и сила тяжести. Разложим аэродинамическую силу на две составляющие - подъемную силу и силу лобового сопротивления (см. рис. 3) - и запишем второй закон Ньютона для центра масс системы лыжник-лыжи:
, (1)
где - сила тяжести;
- масса системы прыгун-лыжи;
- ускорение центра масс системы;
- ускорение свободного падения;
- подъемная сила;
- сила лобового сопротивления.
Рис. 3. Система координат и основные силы, действующие на прыгуна в полете.
Сила лобового сопротивления направлена по касательной к траектории противоположно скорости и пропорциональна квадрату модуля скорости: , (2) а подъемная сила направлена по нормали к траектории и по модулю равна: , (3) где коэффициент [6]. Коэффициент определяется предельной скоростью системы лыжник-лыжи : . (4)
Предельная скорость - это скорость установившегося свободного падения тела в воздухе.
Спроецировав (1) на оси координат, путем несложных преобразований приходим к дифференциальным уравнениям движения:
(5)
Понизим порядок системы:
(6)
Следует также помнить, что воздушная среда находится в движении, в воздухе вокруг трамплинной горы задано векторное поле скоростей ветра. То есть все предыдущие уравнения записаны для относительных скоростей и их следует переписать для абсолютных скоростей.
(7)
где - горизонтальная, а - вертикальная составляющая скорости ветра. Начальные условия:
(8)
Очевидно, что в общем случае задача если и решается аналитически, то очень сложно, поэтому целесообразнее решать ее численно. Критерием окончания расчета будет служить выполнение одного из следующих условий:
пересечение траектории со склоном горы;
вылет прыгуна за пределы участка приземления: .
Рассмотрим коэффициенты и. В простейшей модели можно положить их постоянными, как сделано, например, в работе [4]. Однако в действительности эти коэффициенты зависят от ориентации лыжника в воздухе и от его позы. Но у нас есть достаточно оснований считать позу лрыгуна постоянной в полете, такое допущение сделано не только в этой работе, но и в работах [2 - 4]. Ориентацию же лыжника в пространстве определяет угол атаки системы прыгун-лыжи, то есть угол между плоскостью системы и скоростью набегающего потока воздуха. Здесь и далее в подобных случаях под набегающим потоком воздуха понимается скорость воздуха относительно системы лыжник-лыжи. При старых техниках прыжка, изображенной на рис. 3, когда корпус лыжника находился на относительно большом расстоянии от лыж, необходимо было рассматривать отдельно угол атаки корпуса, ног, рук и лыж [1], но при современных техниках и особенно при так называемом V-стиле, когда прыгун раздвигает лыжи и ложится между ними, становясь как бы треугольным крылом, можно приближенно считать, что лыжник и лыжи находятся в одной плоскости и рассматривать один угол атаки - угол атаки всей системы в целом. Вернемся к началу этой главы. Для силы лобового сопротивления (2) и подъемной силы (3) существуют и другие выражения [6, 7]:
, (9)
, (10)
где - плотность воздуха, - коэффициент силы лобового сопротивления, - коэффициент подъемной силы, - площадь миделя (площадь сечения системы прыгун-лыжи в плоскости, перпендикулярной набегающему потоку воздуха). Если считать, что лыжник и лыжи находятся в одной плоскости, то площадь миделя при заданном угле атакиопределяется следующим образом: , где - площадь миделя при угле атаки 900. Угол атаки складывается из угла между горизонталью и скоростью и угла между горизонталью и лыжами (рис. 4).
Рис. 4. Определение угла атаки системы лыжник-лыжи.
- угол между лыжами и горизонталью,
- угол между скоростью и горизонталью,
- угол атаки.
Как видно из кинограмм прыжков, приводимых, например, в [1], и из наблюдений за прыгунами, угол между лыжами и горизонталью в полете практически не меняется, меняется лишь угол между скоростью и горизонталью. Тогда, учитывая выражения (2) и (9), можно записать:
. (11)
Из рис. 4 видно, что
. (12)
Аэродинамические коэффициенты и можно найти из опытов в аэродинамической трубе. Однако в настоящее время мы не располагаем этими данными для современных техник прыжка, поэтому в данной работе используется лишь оценка аэродинамических коэффициентов. Рассмотрим лыжника и окрыжающий его воздух. Если рассмотреть воздух, как идеальный газ, состоящий из круглых упругих частичек, то согласно теории удара аэродинамическая сила будет направлена по нормали к поверхности лыж (см. рис. 5).
Рис. 5
