Реферат: Математические методи в психології

Когда мы пишем Х12, то имеем в виду первый элемент второй группы, 6,5. AM заменяет второе число в третьей группе, 5,3. Когда же мы пишем Хij, то мы можем обозначать каждое из этих 6 чисел, придавая i значение 1 или 2, а j- 1, 2 или 3.

Допустим, вы собирались провести эксперимент, в котором 12 человек читали бы одну брошюру, а 10 человек - другую. Вполне возможно, что вам захочется говорить о числах, которые получатся в результате этого эксперимента, раньше, чем они будут получены. Вместо того чтобы сказать: "Я собираюсь сравнить третий номер в первой группе со вторым номером. во второй группе", вы можете сказать: "Я думаю сравнить Х31 с Х22". Символы должны стать полезным и стенографически экономным средством.

Данные можно классифицировать применительно к любому количеству характеристик.

Обозначение сигма (S)

Анализ большинства данных включает, между прочим, сложение, вычитание, умножение и деление чисел. Поскольку мы хотим поговорить о выполнении этих операций над группой чисел вообще, произведем операции на символах вместо чисел.

Последовательность Х1, Х2, ..., Хп представляет собой группу из n чисел, каждое число которой можно записать как Xi. Х1 + Х2 заменяет сумму первого и второго чисел. Порядок индексов обычно совершенно произволен. С тем же успехом можно было бы использовать Х2 + Х1  Х1 + Х2 + Х10 представляет собой сумму первого, второго и десятого номеров.

Часто мы хотим сложить все числа группы. Если в группе имеется 5 чисел, то n = 5, а сумма всех чисел равна Х1 + Х2 + … + Х5    Х1 + Х2 + … + Xn обозначает сумму всех n чисел в группе, когда точное значение n не сговорено.

Сокращение записи для Х1 + Х2 + … + Xn, которое часто употребляется, выглядит так: Хi

Хi обозначает Х1 + Х2 + … + Xn

Хi = Х1 + Х2 + X3                   Хi = Х3 + Х4 + X5

S - это греческая прописная буква "сигма". Хi читается как "сумма Хi когда i пробегает значения от 1 до 5". Хi читается как "сумма Хi когда i пробегает значения от 1 до n ".

Общепризнанно, что краткое обозначение S является экономным. Статистики извлекают из этою большую пользу.

Сложение чисел, умноженных, например, на 6 или возведенных в квадрат (это значит умноженных на самих себя), осуществляется, как обычно. Допустим, мы хотим умножить каждое из n чисел на 2 и сложить результаты. Искомая сумма есть

2X1 + 2X2+...+2Xn.

Но вы наверняка заметите, что эта сумма - то же самое, что и

2(X1 + X2+...+Xn).

Используя S-обозначение, мы можем заменить (X1 + 2X2+...+2Xn) на Хi Результат можно записать так:

2X1 + 2X2+...+2Xn = 2Хi = 2Хi

Этот результат возник не вследствие какого-либо магического свойства числа 2: с числами 4, 60 или 131,4 результат будет тот же. В самом деле, если с представляет собой какое-либо постоянное число (то есть число, которое не зависит от i), то

сX1 + сX2+...+сXn = сХi = сХi    (Правило 1)

Если постоянное число (константу) с прибавить к каждому из n чисел, то получим

X1 + с,  X2+ с,  …,  Xn + с

Сумма этих значений

(X1 + с) + (X2+ с) + … + (Xn +с) = ( Xi +с)

При сложении мы всегда можем перегруппировать числа в любом порядке до того, как складывать

( Xi +с) = (X1 + X2+...+Xn ) + (с + с + … + с)

Первая сумма в круглых скобках справа дает Хi

Какова же вторая сумма в круглых скобках? Сколько с сложено? Ответ: n. Поэтому вторая сумма равна nс. Следовательно,

( Xi +с) = Хi + с = Хi + nс   (Правило 2)

Другое важное выражение - сумма  квадратов n чисел

(X1  X1) + (X2  X2) + ... + (Xn Xn ) =  +  + … + ,

которое символически изображается как Х

Аналогично

 +  + … +  = Х

хотя в элементарной статистике это выражение встречается редко.

Заметим, что Хi символически изображает единственное число: число, которое получается в результате сложения n чисел.

Хi может быть 10, 13 или 1300. сХi это произведение двух чисел с и Хi . (Хi) (Хi) является произведением числа (некоторой суммы), умноженного на самого себя. Мы также запишем это следующим образом:

(Хi) (Хi) = (Хi)2

Если Х1 = 3, Х2 = 6, а Х3 = 1, то Хi = 10, а (Хi)2 = 100.

Обычным в статистическом анализе является выражение

(Xi +с)2 = (X1 + с)2 + (X2+ с)2 + ... + (Xn +с)2

(Xi +с)2 , равное (Xi +с) (Xi +с), иначе можно записать так:

Xi  + с

   

Действительно, тогда

(Xi +с)2 = (Х + 2сХi  +с2)

Выражение в скобках можно записать n раз следующим образом:

Х + 2сХ1  +с2

Х + 2сХ2  +с2

…               …            …

…               …            …

Х + 2сХn  +с2

Чему равна сумма первого столбца данного выражения? Она равна        Х+ Х + … + Х = Х. Какова сумма второго столбца? Она составляет

2сХ1 + 2сХ2 + … + 2сХn = 2с (Х1 + Х2 + … + Хn),

что более кратко можно записать как 2с Хi . Какова сумма третьего столбца? Она представляет собой с2 + с2 + ... + с2  = nc2 . Складывая суммы этих трех столбцов, имеем

(Xi +с)2  = Х + 2сХi.+ nc2. (Правило 3)

Хотя такие действия правильны, в них нет необходимости. Вместо этого можно "распределить" знак суммирования перед каждым членом и получить непосредственно тот же результат:

(Xi +с)2 = (Х + 2сХi  +с2) = Х + 2сХi + с2 =

= Х + 2сХi.+ nc2.