Быстрый поиск

Реферат: Разработка программно-методического комплекса для анализа линейных эквивалентных схем в частотной области для числа узлов <=500

II IU UU

3) Каждой ветви соответствует компонентное уравнение:

а.

I=C*

I, U - фазовые переменные типа потока и разности потенциалов (напряжения) в рассматриваемой ветви, С - емкость.

б.

U=L*

L - индуктивность

в.

U=R*I

R - сопротивление

г.

U=f1(V,t)

U - вектор фазовых переменных,

t - время, в частном случае возможное U=const

д.

I=f2(V,t)

U - вектор фазовых переменых,

I - м.б. I=const

Зависимая ветвь - ветвь, параметр которой зависит от фазовых переменных.

4) Каждому узлу схемы соответствует определенное значение фазовой переменной типа потенциала, каждой ветви - значения переменных I и U, фигурирующих в компонентных уравнениях. Соединение ветвей друг с другом (т.е. образование узлов) должно отражать взаимодействие элементов в системе. Выполнение этого условия обеспечивает справедливость топологических уравнений для узлов и контуров.

В качестве фазовых переменных нужно выбирать такие величины, с помощью которых можно описывать состояния физических систем в виде топологических и компонентных уравнений.

В ЭВМ эта схема представляется в табличном виде на внутреннем языке.

Граф электрич. схем характеризуется некоторыми так называемыми топологическими мат-рицами, элементами которых являются (1, 0, -1). С помощью них можно написать независимую систему уравнений относительно токов и напряжений ветвей на основании законов Кирхгофа. Соединения ветвей с узлами описываются матрицей инциденции А . Число ее строк равно числу узлов L, а число столбцов - числу ветвей b. Каждый элемент матрицы a(i, j):

ì -1 - i-я ветвь входит в j-й узел,

a(i, j) = í 1 - i-я ветвь выходит из j-го узла,

î 0 - не соединена с j-м узлом.

Легко видеть, что одна строка матрицы линейно зависит от всех остальных, ее обычно исключают из матрицы, и вновь полученную матрицу называют матрицей узлов А. Закон Кирхгофа для токов с помощью этой матрицы можно записать в виде:

А * i = 0, где i - вектор, состоящий из токов ветвей.

Для описания графа схемы используют еще матрицы главных сечений и главных контуров. Сечением называется любое минимальное множество ветвей, при удалении которых граф распадается на 2 отдельных подграфа. Главным называется сечение, одна из ветвей которого есть ребро, а остальные - хорды. Главным контуром называется контур, образуемый при подключении хорды к дереву графа. Число главных сечений равно числу ребер, т.е. L-1, а число главных контуров - числу хорд m=(b-(L-1)). Матрицей главных сечений П называется матрица размерностью (L-1) * b, строки которой соответствуют главным сечениям, а столбцы - ветвям графа. Элементы матрицы a(i, j)=1, если j-я ветвь входит в i-е сечение в соответствии с направлением ориентации для сечения; a(i, j)=-1, если входит, но против ориентации, и a(i, j)=0, если не входит в сечение.

Закон Кирхгофа для токов можно выразить с помощью матрицы главных сечений.

Пi = 0

Матрицей главных контуров Г называется матрица размерностью (b-(L-1))*b, строки которой соответствуют главным контурам, а столбцы - ветвям графа. Элемент этой матрицы a(i, j)=1, если j-я ветвь входит в i-й контур в соответствии с направлением обхода по контуру, -1, если ветвь входит в контур против направления обхода, и 0, если ветвь не входит в контур.

Закон Кирхгофа для напряженй выражается с помощью матрицы главных контуров в виде:

Пи = 0

Располагая в матрицах П и Г сначала столбцы, соответствующие ветвям-ребрам, а затем столбцы, соответствующие ветвям- хордам, можно записать:

П = [E, Пх] Г = [Гр, Е]

где Пх содержит столбцы, соответствующие хордам; матрица Гр - столбцы, соответствующие ребрам, а Е - единичные матрицы [размерность матрицы Е, входящей в П, (L-1)*(L-1), а входящей в Г, (b-(L-1))*(b-(L-1))].

Матрицы Гр и Пх связаны следующим соотношением:

Гр=-Пxт , где т - знак транспонирования матрицы, или, обозначая Гр=F, получаем Пх=-Fт.

Если для расчета электрической схемы за искомые переменные принять токи i и напряжения u ветвей, то уравнения:

Ai = 0 или Пi = 0

Гu = 0 Гu = 0

совместно с компонентами уравнений:

Fj(I,U,dI/dt,dU/dt,x,dX/dt,t)=0

составят полную систему уравнений относительно 2b переменных.

То есть полная система в общем случае представляет собой набор обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.(в случае линейных схем)

Число переменных и уравнений можно уменьшить следующим образом. Токи ребер Ip и напряжения хорд Ux можно выразить через токи хорд Ix и напряжения ребер Up:

Ip= F * Ix Ux = -Fu

Если подставить эти уравнения в уравнение:

Fj(I,U,dI/dt,dU/dt,x,dX/dt,t)=0

то число уравнений и переменных можно уменьшить до числа ветвей b.

Обозначения: L - число вершин (узлов),

b - число ветвей,

p - число ребер,

m - число хорд.

Для связного графа справедливы следующие отношения:

p = L - 1 m = b - (L-1)

хорда - ребро, не вошедшее в дерево.

Оценим эффективность использования вышеописанных матриц описания схем с точки зрения размерности, для ЭВМ это проблема экономии памяти.