Реферат: Метод ветвей и границ (контрольная)

Как видно из рис.  2.7задача (I) имеет оптимальный план (3, 3/2, 0, 9/2, 3/2), а из рис.2.8 следует, что задача (II) неразрешима.

Поскольку среди компонент плана есть дробные числа, выберем переменную х2 и рассмотрим задачи (III) (IV). Задача (III) имеет оптимальный план(3, 1, 2, 3, 3) (рис. 2.9), а задача (IV) неразрешима (рис. 2.10).

Итак, Х*= (3, 1, 2, 3, 3) является оптимальным планом задачи (50)-(53). При этом плане .

Решение задачи, правые части которых содержат параметр.

Алгоритм решения задачи (60)-(62) подобен рассмотренному выше алгоритму решения задачи (57)-(59).

Полагая значение параметра t равным некоторому числу t0, находим решение полученной задачи линейного программирования (60)-(62). При данном значении параметра t0 либо определяем оптимальный план, либо устанавливаем неразрешимость задачи. В первом случае найденный план является оптимальным для любого, где

и числа qi и pi определены компонентами оптимального плана  и зависят от t0:

            Если при t = t0 задача (60)-(62) неразрешима, то,  либо целевая функция задачи (60) не ограничена на множестве планов, либо система уравнений не имеет неотрицательных решений. В первом случае задача неразрешима для всех , а во втором случае определяем все значения параметра , для которых система уравнений (61) несовместна, и исключаем их из рассмотрения.

            После определения промежутка, в котором задача (60)-(62) имеет один и тот же оптимальный план или неразрешима, выбираем новое значение параметра t, не принадлежащее найденному промежутку, и находим решение полученной задачи линейного программирования. При этом решение новой задачи ищем с помощью действенного симплекс-метода. Продолжая итерационный процесс, после конечного числа шагов получаем решение задачи (60)-(62).

            Итак, процесс нахождения задачи (60)-(62) включает следующие основные этапы:

            10. Считая значение параметра t равным некоторому числу , находят оптимальный план или устанавливают неразрешимость полученной задачи линейного программирования.

            20. Находят значения параметра , для которых задача (60)-(62) имеет один и тот же оптимальный план или неразрешима. Эти значения параметра t исключают из рассмотрения.

            30. Выбирают значения параметра t из оставшейся части промежутка  и устанавливают возможность определения нового оптимального плана находят его двойственным симплекс-методом.

            40. Определяют множество значений параметра t, для которых задача имеет один и тот же новый оптимальный план или неразрешима. Вычисления проводят до тех пор, пока  не будут исследованы все значения параметра .

            2.66. Для каждого значения параметра найти максимальное значение функции

при условиях

Р е ш е н и е . Считая значение параметра t в системе уравнений (81) равным нулю, находим решение задачи (80)-(82) (табл. 2. 41).

Таблица 2.41

Как видно  из табл. 2.41,  при t =0 есть оптимальный план задачи. Однако  является оптимальным планом и тогда среди его компонентов не окажется отрицательных чисел, т.е. при 5-3t0; 7+4t0;

13+t или при  Таким образом, если  то- оптимальный план задачи (80)-(82), при котором

Исследуем теперь, имеет ли задача оптимальные планы при . Если , то 5-3t<0 и следовательно, X=(0,5 – 3t, 7+4t, 13+t, 0) не является планом задачи. Поэтому при  нужно перейти к новому плану, который был в то же время  оптимальным. Это можно сделать в том случае, когда в строке вектора Р2 имеются отрицательные числа . В данном случае это условие выполняется. Поэтому переходим к новому опорному плану, для чего введем в базис вектор Р1 и исключаем из него вектор Р2 (табл. 2.42).

            Таблица 2.42

Как видно из табл. 2.42, -оптимальный план задачи для всех t, при которых  Следовательно, если является оптимальным планом исходной задачи, причем .

Если t>17/2, то не является планом задачи, так как третья компонента 17 – 2t есть отрицательное число. Поскольку среди элементов 1-й строки табл. 2.42 нет отрицательных при t>17/2 исходная задача неразрешима.

Исследуем теперь разрешимость задачи при t< -7/4. В этом случае Х= (0,5 -3t, 7+4t, 13+t, 0) (см. табл.2.41) не является планом задачи, так как третья компонента 7+4t есть отрицательное число. Чтобы при данном значении параметра найти оптимальный план (это можно сделать, так как в строке вектора Р3 стоит отрицательное число -1/2), нужно исключить из базиса вектор Р3 и ввести в базис вектор Р5  (табл. 2.43).

Таблица 2.43

Как видно из табл. 2.43,  является оптимальным планом задачи для всех значений параметра t, при которых

Таким образом, если , то задача (80)-(82) имеет оптимальный план  , при котором 

Из табл. 2.43 так же видно, что при t<4 задача неразрешима, поскольку в строке вектора Р4 нет отрицательных элементов.

Итак, если , то задача не имеет оптимального плана; если оптимальный план, а  если , то - оптимальный план, а если , то - оптимальный план, а  если , то задача неразрешима.